Как в учебнике
Для целого $n\ge1$ факториал определяют как $n!=1\cdot2\cdots n$; отдельно полагают $0!:=1$. Для $n\ge1$ выполняется $n!=n(n-1)!$. Восклицательный знак здесь обозначает операцию, а не оценку масштаба ответа.
Число $n!$ равно количеству способов упорядочить $n$ различных объектов. На первое место есть $n$ кандидатов, после выбора остаётся $n-1$, затем $n-2$ и так до одного. Правило произведения даёт факториал. Если объекты неразличимы, эта формула без поправок считает одни и те же порядки повторно.
Рекуррентное равенство согласуется с комбинаторным смыслом: выбор первого объекта оставляет $(n-1)!$ порядков для остальных, и таких первых выборов $n$. При $n=1$ получается $1!=1\cdot0!$, поэтому значение $0!=1$ сохраняет единое правило. В принятом определении аргумент — неотрицательное целое число; подстановка отрицательного числа в эту конечную цепочку не задаёт факториал автоматически.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Факториал считает порядки разных объектов: для четырёх задач есть четыре выбора первой, три второй, два третьей и один последней. В каждом расписании остаются четыре задачи, а двадцать четыре — число способов их расставить. Пятая задача увеличивает число порядков в пять раз благодаря новым ветвям выбора. Пустой список имеет один порядок, поэтому $0!=1$: даже отсутствие задач получает допустимый план, но сам рабочий день от этого не растягивается.
Пример
В примере упорядочиваются четыре учебные карточки A, B, C и D. Экран показывает один возможный выбор, но число в формуле учитывает все ветви, а не только показанную очередь.
Факториал: сколько существует порядков
Первое место
На первое место подходит любая из четырёх карточек.
Шаг 1 из 3: Первое место
Все шаги текстом
Первое место
На первое место подходит любая из четырёх карточек.
- Состояние
- AтекущийBтекущийCтекущийDтекущий
Продолжение
После A остаются три выбора, затем два.
- Состояние
- A | BтекущийA | CтекущийA | Dтекущий
Полный порядок
Последняя карточка определяется; всего 24 порядка.
- Состояние
- A | B | C | Dтекущий24текущий
Сцена показывает одну ветку, например выбор A первым, но после него остаётся шесть возможных хвостов из B, C и D. Таких групп по шесть четыре — по первому объекту. Это даёт $4\cdot6=24$, как в полной формуле. Простое сложение $4+3+2+1$ посчитало бы варианты отдельных решений без их сочетаний и не дало бы количества законченных порядков.
Дальше: Выбор без порядка.