Как в учебнике
Рациональное число — число вида $p/q$, где $p,q\in\mathbb Z$ и $q\ne0$. Множество таких чисел обозначают $\mathbb Q$. Дробь означает деление числителя на знаменатель; нулевой знаменатель недопустим.
Разные дроби могут обозначать одно число: $1/2=2/4$. Поэтому рациональное число не следует отождествлять с единственным написанием дроби. Каждое целое $n=n/1$ рационально, но не каждое рациональное целое: $1/2\notin\mathbb Z$. Все рациональные числа являются действительными; обратное неверно, например $\sqrt2$ нельзя представить отношением целых.
При ненулевых знаменателях равенство $p/q=r/s$ равносильно $ps=rq$. Это позволяет сравнивать записи без перехода к округлённым десятичным значениям. Умножение числителя и знаменателя на одно ненулевое целое сохраняет число, поскольку общий множитель сокращается. Знаменатель можно выбирать положительным, перенося знак в числитель. Ноль также рационален: $0/q=0$ при любом допустимом $q$, в частности $0=0/1$.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Рациональное число описывает долю: один пирог на двоих и два пирога на четверых дают одну и ту же половину на человека. Разные пары числителя и знаменателя могут обозначать одно число. Нулевой знаменатель не создаёт бесконечно щедрую порцию — деление на ноль не определено. Пирог объясняет положительные доли, а отрицательная половина может обозначать долг: арифметика работает за пределами кухни и не требует отрицательных гостей.
Пример
В примере сравниваются учебные записи $1/2$, $2/4$ и $1/0$. Первые две записи дают одинаковые доли, последняя нарушает обязательное ограничение на знаменатель.
Рациональные числа: отношение целых
Половина
Деление одного на два допустимо: знаменатель ненулевой.
Шаг 1 из 3: Половина
Все шаги текстом
Половина
Деление одного на два допустимо: знаменатель ненулевой.
- Состояние
- p: 1текущийq: 2текущий1/2текущий
Та же доля
Два из четырёх дают то же число.
- Состояние
- 2/4текущий1/2текущий
Запрещённый знаменатель
Ноль нарушает условие определения рациональной дроби.
- Состояние
- p: 1q: 0исключённе определеноисключён
Для первых двух записей можно проверить равенство перекрёстным умножением: $1\cdot4=2\cdot2$. Одинаковый результат не означает одинаковые числители и знаменатели. Последняя запись сначала должна пройти проверку допустимости; вычислять её как обычную дробь нельзя. Особенно важно не пытаться «сократить ноль» в знаменателе. Правило сокращения использует ненулевой общий множитель и не исправляет выражение, которое исходно не определено.
Дальше: Целые числа, Действительные числа.