Как в учебнике
Равносильность $P\Leftrightarrow Q$ означает, что выполнены обе импликации: $P\Rightarrow Q$ и $Q\Rightarrow P$. Её читают «тогда и только тогда, когда». Каждое условие необходимо и достаточно для другого. Истинность обоих высказываний совпадает: оба истинны или оба ложны.
Для действительного $x$ верно $x^2=0\Leftrightarrow x=0$. Доказательство требует двух направлений: нулевой квадрат возможен только у нуля, а квадрат нуля равен нулю. Одно доказанное направление позволяет написать только $\Rightarrow$, но не $\Leftrightarrow$.
Одинаковая истинность в одной точке подтверждает равносильность только для этой пары конкретных высказываний. Чтобы заменять условия $P(x)$ и $Q(x)$ во всей области, совпадение необходимо обосновать для каждого допустимого $x$. Один вход с разными ответами опровергает такую замену. При этом совпадение двух ложных ответов полностью соответствует равносильности: она сравнивает истинность, а не требует истинности каждой части.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Равносильные условия допускают ровно одних и тех же кандидатов, поэтому одно может заменить другое без изменения результата. Совпадать должны ответы для всей области, включая случаи, когда оба условия ложны. Проверка двух турникетов в одну сторону не исключает лишних посетителей у второго, а одинаковый отказ одному человеку не подтверждает совпадение правил. Именно поэтому «делится на 4» нельзя заменить словом «чётное»: соглашение об обмене пассажирами нарушается на других числах.
Пример
Для учебных значений −1, 0, 1 сравниваются $P(x):x^2=0$ и $Q(x):x=0$. Затем отдельно проверяются оба направления рассуждения для произвольного действительного $x$.
Равносильность: два направления сразу
Проверка значений
Оба условия пропускают только ноль.
Шаг 1 из 3: Проверка значений
Все шаги текстом
Проверка значений
Оба условия пропускают только ноль.
- Состояние
- −1: ложь/ложьтекущий0: истина/истинатекущий1: ложь/ложьтекущий
Первое направление
Если квадрат равен нулю, само число равно нулю.
- Состояние
- x² = 0текущийx = 0текущий
Обратное направление
Подстановка нуля даёт нулевой квадрат; нужны оба вывода.
- Состояние
- x = 0текущийx² = 0текущий
При $x=-1$ и $x=1$ обе проверки ложны, но их равносильность истинна. При нуле обе истинны, и связь снова истинна. Таблица иллюстрирует совпадение, а общее доказательство использует свойство действительных чисел: квадрат ненулевого числа положителен. Обратное направление следует прямой подстановкой нуля. Пропустить одну стрелку нельзя даже тогда, когда конечная таблица выглядит убедительно.
Дальше: Импликация.