Как в учебнике
Доказательство — цепочка допустимых логических выводов из предпосылок и установленных результатов. Всеобщее утверждение требуется обосновать для всех случаев в его условиях. Один пример показывает случай; один контрпример опровергает всеобщее утверждение.
Определение фиксирует смысл термина, аксиома принимается в выбранной системе, теорема устанавливается доказательством. Лемма — доказанное утверждение, обычно используемое для другого результата. Это роли в изложении, а не степени надёжности.
Выражение $2x+1$ задаёт значение, уравнение $2x+1=7$ требует найти неизвестное, а тождество $(x+1)^2=x^2+2x+1$ верно для всех допустимых $x$. Проверка одного числа не превращает равенство в тождество.
В начале доказательства фиксируются область объектов и предпосылки. Каждый переход должен следовать из них или из уже обоснованного шага. Для всеобщего утверждения выбранный объект остаётся произвольным: нельзя незаметно предположить у него удобное дополнительное свойство. Если вывод использует деление, ненулевой знаменатель тоже требует основания. Верное заключение не исправляет недопустимый переход в рассуждении.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Доказательство обосновывает утверждение для произвольного допустимого случая, а не для нескольких удачных примеров. Если число $n$ делится на 4, то $n=4k=2(2k)$ для некоторого целого $k$, поэтому $n$ чётно. Каждый переход здесь опирается на условие или определение, как поворот на маршруте с подтверждённым проходом. Три исправных чайника полезны для проверки догадки, но не выдают сертификат всем чайникам мира: отдельные испытания не заменяют общего основания.
Пример
После двух учебных случаев пример переходит к произвольному целому $k$. Последний шаг покрывает все целые числа, делящиеся на 4, включая ноль и отрицательные.
Доказательство: почему пример ещё ничего не доказывает
Пример
Число 4 чётное, но это только один случай.
Шаг 1 из 3: Пример
Все шаги текстом
Пример
Число 4 чётное, но это только один случай.
- Состояние
- 4текущий2 × 2текущий
Ещё пример
Число 8 тоже чётное; конечная проверка всё ещё не доказательство.
- Состояние
- 8текущий2 × 4текущий
Произвольный случай
Целое 2k показывает делимость на 2 для любого допустимого k.
- Состояние
- n = 4kтекущийn = 2(2k)текущий2k ∈ ℤтекущий
В последней строке важны две вещи: представление $n=4k$ следует из предпосылки, а число $2k$ остаётся целым. Именно это разрешает назвать $n$ удвоенным целым, то есть чётным. Положительность $k$ нигде не использовалась, поэтому доказательство не теряет ноль и отрицательные числа. Проверка только 4 и 8 оставила бы общую причину чётности невысказанной; добавление других удачных примеров не заменяет общего обоснования.
Дальше: Импликация.