Как в учебнике
Принадлежность связывает объект и множество. Запись $x\in A$ утверждает, что объект $x$ является элементом множества $A$; $x\notin A$ отрицает это утверждение. До проверки нужно установить, какие объекты считаются элементами и как задано само множество.
В конечном множестве, заданном перечислением, порядок и повторы не меняют состав: $\{1,2,2,3\}=\{3,2,1\}$. Множество без элементов обозначают $\varnothing$. Для любого объекта $x$ утверждение $x\in\varnothing$ ложно.
Множество само может быть объектом: $\varnothing\in\{\varnothing\}$, хотя $\varnothing\notin\varnothing$. Фигурные скобки меняют объект, а не украшают запись. Принадлежность не следует путать с включением, которое сравнивает два множества.
При задании множества условием принадлежность проверяется подстановкой конкретного объекта в это условие. При перечислении достаточно найти совпадающий элемент. Эти способы описания не меняют смысла отношения $\in$. Если элементом множества является другое множество, сравнивается этот целый объект, а не автоматически его содержимое. Например, из $2\in\{2\}$ не следует $2\in\{\{2\}\}$: у последнего множества единственный элемент — множество $\{2\}$, а не число 2.
Другой тип отношения: включение множеств.
На пальцах
Принадлежность похожа на проверку гостя по списку: нужный человек либо указан, либо нет, а повтор имени не создаёт нового гостя. Гость и список с его именем остаются разными объектами, как предмет и коробка с предметом. Пустая коробка ничего не содержит, а коробка с пустой коробкой внутри уже имеет один элемент — скромное имущество, но честная опись. Такая картинка помогает различать уровни вложенности, не приписывая математическому множеству материальный контейнер или порядок раскладки.
Пример
Учебное множество $A=\{1,2,3\}$ задано перечислением. Каждый объект проверяется именно в указанном множестве; в последнем шаге объектом становится пустое множество.
Принадлежность множеству
Элемент найден
Число 1 указано среди элементов A.
Шаг 1 из 3: Элемент найден
Все шаги текстом
Элемент найден
Число 1 указано среди элементов A.
- A
- 1текущий23
Элемент отсутствует
Число 4 отсутствует в A; никакое положение на числовой прямой этого не меняет.
- A
- 123
- Проверяемый объект
- 4исключён
Множество как элемент
Снаружи стоит множество с единственным объектом: пустым множеством.
- {∅}
- ∅включён
- ∅
- ∅
В последнем шаге сменились обе роли: проверяемый объект — $\varnothing$, а множество для проверки — $\{\varnothing\}$. Ответ первого шага про число 1 ничего не говорит об этой новой паре. Запись сравнивает левый объект целиком с элементами правого множества на внешнем уровне. Типичная ошибка — увидеть пустое множество внутри и объявить пустой всю внешнюю конструкцию. Внешние скобки как раз добавили ей элемент.