Как в учебнике
Мощность конечного множества $A$, обозначаемая $|A|$, — число его различных элементов. Для пустого множества $|\varnothing|=0$. Порядок перечисления и повторная запись элемента не меняют множество, поэтому $|\{2,4,4\}|=2$.
Запись $\{\varnothing\}$ обозначает множество с одним элементом — пустым множеством; его мощность равна 1. Знак модуля у числа и те же черты у множества имеют разные значения. Статья рассматривает только конечные множества; для бесконечных множеств простого подсчёта до последнего элемента нет.
Подсчёт конечного множества означает сопоставление его элементов числам $1,\ldots,n$ так, чтобы каждый элемент получил один номер и ни один номер не повторился. Итоговое $n$ не зависит от порядка нумерации. При добавлении уже имеющегося элемента мощность сохраняется; при добавлении нового увеличивается на единицу. Это также объясняет, почему одинаковая мощность не означает равенство: номера отражают количество, а не сохраняют сведения о том, какие объекты были пронумерованы.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Мощность конечного множества считает различные объекты: повторная запись Бори не создаёт второго человека. Сначала определяется сам набор элементов, затем каждый учитывается один раз; число строк совпадает с ответом лишь при отсутствии повторов. Коробка с пустой коробкой внутри имеет один предмет, хотя внутренняя коробка пуста. Имена при этом должны однозначно различать людей: административное удобство не даёт права сливать тёзок в одного гостя.
Пример
Учебная запись $\{2,4,4\}$ задаёт множество. После удаления повтора подсчитываются оставшиеся элементы; отдельно показан случай вложенного пустого множества.
Мощность конечного множества: число элементов
Перечисление
Повтор 4 не обозначает новый элемент.
Шаг 1 из 3: Перечисление
Все шаги текстом
Перечисление
Повтор 4 не обозначает новый элемент.
- Состояние
- 2включён4включён4исключён
Подсчёт
Различных элементов два.
- Состояние
- 2текущий4текущий
Вложенный элемент
Пустое множество внутри фигурных скобок считается одним объектом.
- Состояние
- ∅текущий
В первом шаге исключается лишняя запись четвёрки, а не само число 4: один элемент с таким значением остаётся. Во втором шаге считаются именно 2 и 4, поэтому ответ равен двум. Последний шаг меняет рассматриваемое множество целиком: теперь единственным элементом служит $\varnothing$. Подсчёт внешнего уровня сохраняет внутренний объект целиком. Внутри этого объекта ноль элементов, но снаружи он по-прежнему один объект.
Дальше: Принадлежность.