Как в учебнике
Множество $A$ является подмножеством $B$, если каждый элемент $A$ принадлежит $B$. Нестрогое включение обозначается $\subseteq$:
$$A\subseteq B\quad\Longleftrightarrow\quad\forall x\,(x\in A\Rightarrow x\in B).$$
Равенство разрешено: $A\subseteq A$. Если дополнительно $A\ne B$, включение собственное, и обозначается $A\subsetneq B$. Знак $\subset$ у разных авторов используют по-разному; здесь он не нужен.
Чтобы опровергнуть включение, достаточно одного элемента $x\in A$, для которого $x\notin B$. Пустое множество включено в любое множество: в нём нет элемента, способного нарушить условие. Если $A\subseteq B$ и $B\subseteq C$, то $A\subseteq C$: произвольный элемент $A$ последовательно принадлежит $B$ и $C$.
Включение направлено от множества, чьи элементы проверяются, к множеству, в котором они должны находиться. Дополнительные элементы справа не нарушают условие. Дополнительный элемент слева требует новой проверки. Поэтому из $A\subseteq B$ не следует обратное включение. Если оно всё же выполнено, множества равны. Для конечных множеств включение даёт $|A|\le|B|$, но одно сравнение мощностей не восстанавливает включения: меньший набор может состоять из совершенно других объектов.
Связанные понятия: Принадлежность множеству.
На пальцах
Включение означает, что каждая вещь из одной описи найдётся в другой; дополнительные вещи во второй описи не мешают проверке. Один потерянный носок опровергает перенос всего содержимого, даже если новый шкаф гораздо больше. Принадлежность проверяет одну вещь, включение — целое множество: $2\in\{1,2,3\}$, тогда как $\{2\}\subseteq\{1,2,3\}$. Шкафы здесь обозначают описи, а не вместимость: дополнительные полки сами по себе наличия вещей не доказывают.
Пример
В учебном примере $B=\{1,2,3\}$. Первая проверка касается $A=\{1,2\}$, затем число 4 добавляется в проверяемое множество.
Включение множеств
Первый элемент
Элемент 1 из A найден в B.
Шаг 1 из 3: Первый элемент
Все шаги текстом
Первый элемент
Элемент 1 из A найден в B.
- A
- 1текущий2
- B
- 1включён23
Все элементы проверены
Элемент 2 тоже найден. В B остаётся лишний элемент 3, но это допустимо.
- A
- 1включён2включён
- B
- 1включён2включён3
Контрпример
У множества {1,2,4} есть элемент 4, которого нет в B. Одного нарушения достаточно.
- Проверяемое множество
- 1включён2включён4исключён
- B
- 1включён2включён3
На первых двух шагах проверены все элементы $\{1,2\}$, поэтому здесь полный конечный перебор действительно доказывает включение. Непроверенная тройка справа безвредна: она показывает, что включение собственное. Когда слева появляется четвёрка, достаточно проверить её отсутствие справа, и новое утверждение опровергнуто. Типичная ошибка — искать справа все элементы, которых нет слева, и считать их нарушением. Такой поиск проверяет уже обратное направление, которого исходное утверждение не требовало.