Как в учебнике
Множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда содержат одни и те же элементы:
$$A=B\quad\Longleftrightarrow\quad\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B).$$
Эквивалентный критерий — взаимное включение: $A=B$ тогда и только тогда, когда $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$. Здесь $\subseteq$ разрешает равенство.
Обоснование критерия: если множества равны, каждый элемент любого из них находится в другом, поэтому оба включения выполнены. Обратно, первое включение запрещает элементы только в $A$, второе — элементы только в $B$. Следовательно, условие принадлежности совпадает для любого $x$, и множества равны.
Одного включения недостаточно. Равное число элементов тоже не доказывает равенство: $\{1,2\}\ne\{3,4\}$. Порядок перечисления и повторные записи элементов значения не имеют.
Разные способы задания могут описывать одно множество: перечисление и условие отбора сравниваются по элементам, а не по внешнему виду записи. Для доказательства неравенства достаточно найти объект, принадлежащий ровно одному из множеств. При доказательстве равенства через включения элемент выбирается произвольно, без особых свойств, не следующих из его принадлежности. Это важно для бесконечных множеств, где проверка нескольких представителей не охватывает все возможные объекты.
Связанные понятия: Включение множеств.
На пальцах
Равенство двух списков гостей требует полного совпадения состава: все из первого присутствуют во втором и наоборот. Одинаковая длина ничего не гарантирует — у двух вечеринок может быть по десять гостей без единого общего человека. Перестановка строк, смена шрифта и повторы не меняют множество, но совпавшее имя должно обозначать того же гостя. Математика не исправляет плохую идентификацию и не заставляет тёзок делить один стул ради удобной сверки.
Пример
Учебные записи $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{3,1,2,2\}$ перечисляют элементы в разном порядке. Повторная двойка не создаёт нового элемента.
Равенство множеств
Из A в B
Каждый элемент A найден в B. Первое включение выполнено.
Шаг 1 из 3: Из A в B
Все шаги текстом
Из A в B
Каждый элемент A найден в B. Первое включение выполнено.
- A
- 1текущий2текущий3текущий
- B
- 3включён1включён2включён
Из B в A
Все элементы B найдены в A. Второе включение завершает доказательство.
- A
- 1включён2включён3включён
- B
- 3текущий1текущий2текущий
Замена одного элемента
Множество C содержит 4 вместо 3. Число элементов прежнее, равенство исчезло.
- A
- 123исключён
- C
- 124исключён
После проверки первого направления известно только, что в $A$ нет лишних относительно $B$ элементов. Второе направление исключает лишние элементы уже в $B$, и лишь вместе проверки завершают сравнение. В последнем шаге тройка служит готовым свидетелем неравенства: она есть в $A$, но отсутствует в новом наборе. Не нужно продолжать поиск всех различий, если цель — опровергнуть равенство. Одного точно проверенного различия достаточно.