Как в учебнике
Запись $B:=\{x\in A\mid P(x)\}$ определяет множество тех элементов $A$, для которых предикат $P(x)$ истинен. Предикат — условие, получающее истинность после выбора аргумента. Вертикальную черту читают «такие, что»; вместо неё также используют двоеточие.
Множество $A$ задаёт область отбора, а условие решает, оставить ли конкретный элемент. Так $\{x\in\{2,4,6\}\mid x>2\}=\{4,6\}$. Результат — множество, поэтому повторов и порядка перечисления в нём нет. Запись не предписывает программу или порядок перебора.
Для любого объекта $y$ принадлежность результату равносильна двум условиям: $y\in A$ и истинности $P(y)$. Имя связанной переменной можно заменить: $\{x\in A\mid P(x)\}=\{t\in A\mid P(t)\}$ при согласованной замене обозначений. Менять само условие при такой замене нельзя. Если ни один элемент области не удовлетворяет условию, получается пустое множество; если удовлетворяют все, получается $A$. Оба случая являются обычными результатами отбора.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Задание множества условием похоже на фильтр над содержимым указанного ящика: область задаёт кандидатов, а правило оставляет подходящих. Среди карандашей красный шар с соседнего стола в результат не попадёт, даже если цвет верный. Условие не создаёт новых элементов, поэтому результат включён в $A$; без названной области инвентаризация превращается в экспедицию. Перебор помогает представить конечный ящик, но сама запись не обещает завершения проверки всех кандидатов за конечное время.
Пример
Пример отбирает из учебного $A=\{2,4,6\}$ числа больше 2. Промежуточный результат растёт, но исходная область отбора не меняется.
Задание множества условием: фильтр для элементов
Проверка 2
Условие строгое: равенства недостаточно.
Шаг 1 из 3: Проверка 2
Все шаги текстом
Проверка 2
Условие строгое: равенства недостаточно.
- Состояние
- 2исключён46
Проверка 4
Четвёрка проходит фильтр.
- Состояние
- 2исключён4включён6
Проверка 6
Шестёрка тоже проходит; результат состоит из 4 и 6.
- Состояние
- 2исключён4включён6включён
Двойка исключается из-за строгого сравнения, а не потому, что стоит первой. Четвёрка и шестёрка остаются, поскольку одновременно принадлежат исходному множеству и превышают 2. Например, число 5 тоже превышает 2, но его нет в $A$, поэтому добавлять его нельзя. Проверка результата требует обеих сторон условия: каждый оставленный элемент должен пройти фильтр, а каждый подходящий исходный элемент должен быть сохранён.
Дальше: Предикат.