Как в учебнике
Высказывание — утверждение, истинное или ложное при зафиксированном смысле. Предикат — условие, истинность которого зависит от значений аргументов. Если областью служат действительные числа и $P(x)$ означает $x>3$, то $P(4)$ истинно, а $P(2)$ ложно.
До подстановки $x>3$ не имеет одного фиксированного ответа: $x$ остаётся свободной переменной. Область аргумента — часть определения. Запись $P(x)$ выглядит как вызов функции, но результатом проверки здесь служит истинность. Предикат может иметь несколько аргументов, например условие $x<y$.
Условие должно быть определено для каждого допустимого аргумента. Например, запись о делении требует исключить нулевой знаменатель или отдельно договориться о значении в этой точке. Неопределённое выражение не становится ложным автоматически. Для многоместного предиката важен порядок аргументов: условие «первое число меньше второго» после перестановки чисел может изменить истинность. Таким образом, предикат задаётся не одной буквой, а областью, числом аргументов и точным правилом проверки.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Предикат похож на правило турникета: после подстановки допустимого посетителя или числа появляется ответ «проходит» либо «не проходит». Условие «число больше трёх» без самого числа ещё не даёт одного ответа. Область допустимых объектов определяет, к чему правило вообще применимо: бутерброд вместо билета не превращает неопределённую проверку срока действия в ложь. Математический турникет отвечает однозначно, без поправки на настроение охранника.
Пример
Учебный пример применяет правило $P(x): x>3$ к значениям 2, 3, 4. Важен граничный случай: «больше» не включает равенство.
Предикат: условие с аргументом
Аргумент 2
Двойка меньше границы, ответ ложь.
Шаг 1 из 3: Аргумент 2
Все шаги текстом
Аргумент 2
Двойка меньше границы, ответ ложь.
- Состояние
- 2текущийложьтекущий
Аргумент 3
Равенство не удовлетворяет строгому условию.
- Состояние
- 3текущийложьтекущий
Аргумент 4
Четвёрка больше трёх, ответ истина.
- Состояние
- 4текущийистинатекущий
Во всех трёх шагах меняется только аргумент, само условие остаётся прежним. На двойке и тройке ответы совпадают по разным причинам: первая меньше границы, вторая равна ей. Четвёрка проходит строгую проверку. Если неожиданно включить тройку, получится уже другой предикат с условием «не меньше». Отдельная проверка граничного значения помогает заметить подмену правила даже тогда, когда остальные ответы выглядят правдоподобно.
Дальше: Квантор всеобщности.