Как в учебнике
Функция $f:A\to B$ сопоставляет каждому элементу области определения $A$ ровно один элемент множества назначения $B$. Запись $f(x)$ обозначает значение на входе $x\in A$. Разные входы могут иметь один выход; одному входу функция не назначает два разных выхода.
Образ $f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}$ — множество фактически получаемых значений. Для $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, образ равен $[0,+\infty)$ и отличается от множества назначения.
В $f(x;\theta)$ аргумент $x$ меняется, а параметр $\theta$ фиксирует вариант функции. Например, при $\theta=2$ запись $f(x;\theta)=\theta x$ даёт $2x$. При настройке параметр сам становится неизвестным. Буква, латинская или греческая, получает роль из условия, а не из алфавита.
Задание функции включает область, множество назначения и правило соответствия. Формула $1/x$ не задаёт действительную функцию на всей $\mathbb R$, поскольку нулю не назначен действительный результат. Область можно ограничить ненулевыми числами. Две записи с разными буквами аргумента могут описывать одну функцию: важно совпадение назначений на одной и той же области, а не имя переменной.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Функция похожа на автомат: каждому допустимому входу соответствует один определённый выход. Разные кнопки могут выдавать одинаковый чай, но одна кнопка не должна случайно выбирать между разными напитками. Область определения задаёт допустимые кнопки, множество назначения — допустимые ответы, а образ — ответы, которые действительно встречаются. Надпись «напитки» не гарантирует ничего кроме чая; сама функция описывает соответствие, а не скорость работы автомата.
Пример
В примере вычисляется квадрат в трёх учебных точках. Два разных входа дадут 4, ноль даст 0. Отрицательных выходов нет, хотя в множестве назначения они разрешены.
Функция: один выход для каждого входа
Вход 2
Квадрат положительного числа равен 4.
Шаг 1 из 3: Вход 2
Все шаги текстом
Вход 2
Квадрат положительного числа равен 4.
- Состояние
- 2текущий4текущий
Вход −2
Другой вход даёт тот же выход, и это разрешено.
- Состояние
- −2текущий4текущий
Вход 0
Ноль достигается, отрицательные значения — нет.
- Состояние
- 0текущий0текущийобраз: [0, ∞)текущий
Из трёх вычислений видно, что разные входы способны совпасть по выходу. Но утверждение об образе всей прямой требует ещё двух проверок: квадрат любого действительного числа неотрицателен, а каждое $y\ge0$ достигается на входе $\sqrt y$. Поэтому образ не просто содержит показанные 0 и 4, а совпадает со всем неотрицательным лучом. Нельзя восстановить полный образ только по трём строкам демонстрации.
Дальше: Числовые интервалы.