Как в учебнике
Действительные числа обозначают $\mathbb R$ и сопоставляют точкам числовой прямой. Они включают рациональные и иррациональные числа. Иррациональное действительное число нельзя представить отношением двух целых с ненулевым знаменателем; пример — $\sqrt2$.
Числовые множества образуют цепочку $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$. Эти включения не означают равенства множеств: $-1$, $1/2$ и $\sqrt2$ последовательно показывают расширение допустимых значений. Бесконечность $+\infty$ не является действительным числом; запись с бесконечной границей описывает неограниченную область, а не дополнительную точку в $\mathbb R$.
Точка на прямой определяется своим положением относительно других чисел, а не длиной доступной записи. Точная запись $\sqrt2$ задаёт положительное число, квадрат которого равен 2. Она сохраняет точность без перечисления десятичных знаков. В отличие от конечного набора машинных чисел, множество $\mathbb R$ не получает «следующее число» сразу после заданного: между любыми $a<b$ находится, например, $(a+b)/2$. Десятичная сетка экрана — лишь способ показывать эту прямую.
Определения и дальнейшее чтение: Basic Analysis I.
На пальцах
Действительная прямая содержит и целые числа, и дроби, и такие точные значения, как $\sqrt2$ — длина диагонали единичного квадрата. Запись $1.414$ лишь приближает этот корень: последняя цифра на экране не означает конец числа. Увеличение масштаба показывает промежуточные точки, которые прежде сливались. У настоящей линейки есть предел точности, у математической модели его нет; конечный экран калькулятора не обязан работать бесконечной типографией.
Пример
На прямой отмечены учебные значения −1, $1/2$ и $\sqrt2$. Все три допустимы в $\mathbb R$. Последний шаг отделяет точный корень от десятичного приближения.
Действительные числа: точки числовой прямой
Отрицательная точка
Число −1 находится слева от нуля и принадлежит R.
Шаг 1 из 3: Отрицательная точка
Все шаги текстом
Отрицательная точка
Число −1 находится слева от нуля и принадлежит R.
- Состояние
- −1текущий01
Дробная точка
Половина лежит между нулём и единицей.
- Состояние
- 01/2текущий1
Точное и приближённое
Корень — действительное число; 1.414 лишь приближает его.
- Состояние
- 1.414текущий√2текущий1.415текущий
Последнюю оценку можно проверить без доверия к нарисованному масштабу: $1.414^2=1.999396<2$, а $1.415^2=2.002225>2$. Обе границы положительны, поэтому корень действительно находится между ними. Это заключение точнее фразы «корень равен 1.414»: оно указывает интервал, а не подменяет число округлением. Если нужна другая точность, следует сузить границы, сохранив различие между точным объектом и его приближённой записью.
Дальше: Рациональные числа, Числовые интервалы.