Как в учебнике
Абсолютное значение действительного числа определяют как $|a|=a$ при $a\ge0$ и $|a|=-a$ при $a<0$. Оно всегда неотрицательно, причём $|a|=0$ только при $a=0$. Геометрически это расстояние от точки $a$ до нуля.
Поэтому $|-4|=4$ и $|4|=4$. Расстояние между действительными $a$ и $b$ равно $|a-b|$. Для $\varepsilon\ge0$ условие $|a-b|\le\varepsilon$ ограничивает абсолютную погрешность. Такие же одиночные черты вокруг множества означают его мощность: значение символа определяется типом объекта.
Из определения следует $|a|=|-a|$: отражение относительно нуля сохраняет расстояние. Поэтому по одному модулю знак восстановить нельзя. При $r>0$ уравнение $|a|=r$ имеет два действительных решения $a=r$ и $a=-r$; при $r=0$ решение одно. Условие $|a-b|\le\varepsilon$ также равносильно $b-\varepsilon\le a\le b+\varepsilon$: расстояние задаёт целый допустимый интервал.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Модуль сохраняет величину отклонения и убирает направление: четыре шага влево и четыре вправо одинаково удаляют от нуля. Для отрицательного числа смена знака даёт неотрицательное расстояние, но положительный вход менять не требуется. Два дома в четырёх километрах по разные стороны дороги имеют одинаковую удалённость и разные адреса. Для маршрута нужен ещё и знак: расстояние не нанималось работать указателем.
Пример
В учебном примере сравниваются −4, 0 и 4. Для отрицательного числа меняется знак, ноль остаётся нулём, положительное число сохраняется.
Модуль числа: расстояние до нуля
Слева от нуля
Для −4 применяется отрицательная ветвь определения.
Шаг 1 из 3: Слева от нуля
Все шаги текстом
Слева от нуля
Для −4 применяется отрицательная ветвь определения.
- Состояние
- −4текущий4текущий
В нуле
У нуля нет расстояния до самого себя.
- Состояние
- 0текущий0текущий
Справа от нуля
Положительное значение не меняется.
- Состояние
- 4текущий4текущий
В шагах полезно отделять вход от результата: −4 и 4 — разные числа, хотя справа после вычисления стоит одинаковая четвёрка. Ноль проверяет точку стыка двух ветвей: правило для неотрицательных чисел уже включает его. Если после раскрытия модуля получился отрицательный ответ, нужна проверка выбранной ветви: ни один из показанных случаев такого результата не допускает.
Дальше: Погрешность приближения, Норма вектора.