Числовой интервал: включены ли границы

Как в учебнике

Для действительных $a<b$ отрезок $[a,b]=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le b\}$ включает обе границы, а открытый интервал $(a,b)=\{x\in\mathbb R\mid a<x<b\}$ исключает обе. Квадратная скобка включает свой конец, круглая исключает. Поэтому $[a,b)$ включает только левую границу, $(a,b]$ — только правую.

Между границами находятся все действительные числа, а не только целые. Например, $[2,4)\cap\mathbb Z=\{2,3\}$, но сам полуинтервал содержит и 2.5. Бесконечность не является действительным числом и не включается как конец: пишут $[0,+\infty)$. Скобки $(2,4)$ в другом контексте могут обозначать упорядоченную пару.

При проверке принадлежности полуинтервалу $[a,b)$ одновременно нужны два сравнения: $a\le x$ и $x<b$. Выполнение только одного не даёт результата. Скобки относятся каждая к своему концу и не меняют внутренние точки. Если разрешить совпадение границ, $[a,a]=\{a\}$, тогда как $(a,a)$, $[a,a)$ и $(a,a]$ пусты: строгая граница запрещает единственного возможного кандидата. Поэтому условие $a<b$ в исходном определении существенно для невырожденного случая.

Определения и дальнейшее чтение: Basic Analysis I.