Как в учебнике
Декартово произведение $C\times D$ — множество всех упорядоченных пар $(c,d)$, где $c\in C$ и $d\in D$. Упорядоченность означает, что $(c,d)=(c',d')$ тогда и только тогда, когда $c=c'$ и $d=d'$. Первая и вторая позиции имеют разные роли.
Для $C=\{1,2\}$ и $D=\{3\}$ получается $C\times D=\{(1,3),(2,3)\}$. У конечных множеств $|C\times D|=|C||D|$: каждому первому элементу соответствует столько пар, сколько элементов во втором множестве. Если один множитель пуст, пар нет. Запись $\mathbb R^d$ обобщает это на упорядоченные наборы из $d$ действительных координат.
Проверка принадлежности паре состоит из двух условий одновременно: первая координата лежит в $C$, вторая — в $D$. Одной подходящей координаты недостаточно. При обратном порядке множителей возникают пары с другими ролями позиций; даже если число пар совпадает, множества обычно различаются. Формула мощности требует конечности обоих множителей и считает пары, а не отдельные элементы, из которых они составлены.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Декартово произведение похоже на все сочетания размеров и цветов футболки. Каждая пара хранит сначала размер, затем цвет; перестановка полей меняет её смысл. Полное произведение включает каждое сочетание, хотя реальный склад может предлагать лишь часть из них. Форма заказа способна проявить больше оптимизма, чем полка, но математическое построение наличие товара не обещает.
Пример
Исходные учебные множества — $C=\{1,2\}$ и $D=\{3\}$. Каждому элементу первого множества сопоставляются все элементы второго.
Декартово произведение: все упорядоченные пары
Исходные множества
Первая позиция выбирается из C, вторая из D.
Шаг 1 из 3: Исходные множества
Все шаги текстом
Исходные множества
Первая позиция выбирается из C, вторая из D.
- Состояние
- C: 1, 2текущийD: 3текущий
Первая пара
Для первого элемента C подходит единственный элемент D.
- Состояние
- (1,3)текущий
Полный результат
Второй элемент C создаёт ещё одну пару.
- Состояние
- (1,3)текущий(2,3)текущий
В первом шаге число 3 допустимо только во второй позиции. Поэтому пара (3,1) не входит в показанное произведение, хотя оба числа встречаются в исходных множествах. Полученные (1,3) и (2,3) различаются первой координатой и учитываются отдельно. Проверка мощности даёт $2\cdot1=2$, что согласуется с перечислением; она помогает заметить пропущенную пару, но не заменяет проверку её координат.
Дальше: Координатный вектор.