Разложение объединения на непересекающиеся части

Как в учебнике

Для любых множеств $A$ и $B$ их объединение раскладывается на три попарно непересекающиеся части:

$$A\cup B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\cup(A\cap B).$$

Равенство следует из двух включений. Каждый элемент $A\setminus B$ принадлежит $A$, каждый элемент $B\setminus A$ принадлежит $B$, а каждый элемент $A\cap B$ принадлежит обоим. Значит, правая часть включена в левую.

Для обратного включения достаточно произвольного $x\in A\cup B$. Если $x$ принадлежит обоим множествам, он лежит в $A\cap B$. Иначе он принадлежит ровно одному из них и лежит соответственно в $A\setminus B$ или $B\setminus A$. Все варианты покрыты, поэтому левая часть включена в правую.

Части не пересекаются: условие «только в $A$» противоречит принадлежности $B$, условие «только в $B$» противоречит принадлежности $A$, а общая часть требует обоих. Для конечных множеств это позволяет сложить размеры трёх частей без двойного счёта.

Для элемента из объединения возможны ровно три сочетания принадлежности: только $A$, только $B$ или оба множества. Четвёртое сочетание — отсутствие в обоих — исключено предпосылкой. Поэтому разложение одновременно полно и однозначно. Некоторые его части могут быть пустыми: при $A\subseteq B$ часть $A\setminus B$ пуста, а при $A=B$ остаётся только общая часть. Пустые части не нарушают равенства и не требуют добавления искусственных элементов.

Связанные понятия: Объединение множеств, Пересечение множеств, Разность множеств.