Как в учебнике
Пересечение $A$ и $B$ состоит из элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам:
$$A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}.$$
Логическое «и» требует выполнения обоих условий. Поэтому $A\cap B\subseteq A$ и $A\cap B\subseteq B$. Порядок множеств не важен; $A\cap A=A$, а $A\cap\varnothing=\varnothing$.
Заданы универсум $U$ и семейство подмножеств $A_i\subseteq U$ с индексами $i\in I$. Символ $\forall$ означает «для всех»:
$$\bigcap_{i\in I}A_i=\{x\in U\mid\forall i\in I:\ x\in A_i\}.$$
Если хотя бы одно множество не содержит $x$, элемент исключается. При пустом $I$ условие не нарушается ни одним индексом, и относительное пересечение равно $U$. Поэтому для пустого семейства универсум нужно назвать явно.
Пересечение является наибольшим по включению множеством, содержащимся одновременно в $A$ и $B$. Действительно, если $D\subseteq A$ и $D\subseteq B$, каждый элемент $D$ удовлетворяет обоим условиям и принадлежит $A\cap B$. В частности, при $A\subseteq B$ пересечение равно $A$. Добавление очередного множества к непустому семейству требований может только сохранить или сократить результат: прошедший все проверки обязан пройти и каждую прежнюю проверку.
Связанные понятия: Принадлежность множеству.
На пальцах
Пересечение похоже на выбор вечера, свободного во всех календарях друзей. Свободный вторник в одном календаре и свободная среда в другом встречу не спасают: совпасть должен один и тот же вечер. Каждый новый календарь добавляет требование, поэтому подходящих дат больше не становится. Одно внезапное совещание способно опустошить результат; изменившееся расписание требует нового сравнения.
Пример
Заданы учебные $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$ и $C=\{2,3,5\}$. Элементы, которые не проходят очередное требование, исключаются.
Пересечение множеств
Кандидаты из A
Исходные кандидаты — элементы первого множества.
Шаг 1 из 3: Кандидаты из A
Все шаги текстом
Кандидаты из A
Исходные кандидаты — элементы первого множества.
- Кандидаты
- 1текущий2текущий3текущий
Принадлежность B
Из кандидатов только 3 принадлежит B. Число 4 не попадает в результат, потому что его не было в A.
- A
- 1исключён2исключён3включён
- B
- 3включён4
Принадлежность C
Число 3 присутствует и в C, поэтому выдерживает все три условия.
- C
- 23включён5
- Результат
- 3включён
После второго шага остаётся только 3, поэтому проверка третьего множества применяется к этой оставшейся кандидатуре. Число 2 есть в $A$ и $C$, но отсутствует в $B$, и возвращать его на последнем шаге нельзя. Одного успешного позднего сравнения недостаточно, чтобы отменить прежний провал. Итоговая тройка принадлежит всем трём исходным множествам; каждый исключённый кандидат нарушил хотя бы одно условие.