Как в учебнике
Разность $A\setminus B$ состоит из элементов $A$, не принадлежащих $B$:
$$A\setminus B=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}.$$
Оба условия обязательны. Элементы, которых нет в $A$, не могут появиться в результате, даже если их нет и в $B$. Поэтому $A\setminus B\subseteq A$.
Операция зависит от порядка аргументов: обычно $A\setminus B\ne B\setminus A$. Предельные случаи следуют из определения: $A\setminus\varnothing=A$, $\varnothing\setminus B=\varnothing$, $A\setminus A=\varnothing$.
Результат не содержит общих с $B$ элементов. Более того, $A\setminus B=\varnothing$ тогда и только тогда, когда $A\subseteq B$: пустая разность означает, что не нашлось элемента $A$ вне $B$.
Для проверки одного кандидата удобно сначала установить принадлежность $A$, а затем проверить исключающее условие о $B$. При отрицательном первом ответе дальнейшая проверка уже не способна включить объект. Если $A$ и $B$ не имеют общих элементов, разность равна $A$: исключать нечего. Добавление в $B$ объекта, отсутствующего в $A$, также не меняет результат. Эти свойства следуют из того, что $B$ задаёт запрет, но не является источником новых кандидатов.
Связанные понятия: Принадлежность множеству.
На пальцах
Разность похожа на список покупок после исключения того, что уже есть дома. Домашние запасы только вычёркивают позиции и не добавляют новые. Обратный порядок даёт другой список: домашние вещи, которых не было в заказе. Обычное множество учитывает наличие товара, но не количество яблок; за эту бухгалтерию холодильник ответственности не принимает.
Пример
Для учебных $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{3,4\}$ разность вычисляется в обоих направлениях.
Разность множеств
Исходное A
Только элементы A могут попасть в A без B.
Шаг 1 из 3: Исходное A
Все шаги текстом
Исходное A
Только элементы A могут попасть в A без B.
- A
- 1текущий2текущий3текущий
- B
- 34
Исключение элементов B
Число 3 исключается. Число 4 не добавляется: его изначально не было в A.
- A
- 1включён2включён3исключён
- A без B
- 1включён2включён
Смена направления
Теперь исходное множество B. Общая тройка исключается, остаётся 4.
- B
- 3исключён4включён
- B без A
- 4включён
Сначала тройка исключается из $A$, потому что найдена в $B$. Четвёрка в этой операции не участвует как кандидат: её нет в исходном $A$. После смены направления именно четвёрка остаётся, а числа 1 и 2 не могут появиться из второго списка. Для каждого итогового элемента важны два условия: был ли он в левом аргументе и отсутствует ли в правом. Перепутанный порядок меняет оба вопроса одновременно.