Как в учебнике
Заданы универсальное множество $U$ и его подмножество $A\subseteq U$. Дополнение $A$ относительно $U$ обозначается $A^c$ и определяется так:
$$A^c:=U\setminus A=\{x\in U\mid x\notin A\}.$$
Универсум входит в определение. При изменении $U$ дополнение может измениться, даже если $A$ прежнее. Поэтому обозначение $A^c$ применяется только там, где $U$ уже назван.
Внутри фиксированного $U$ выполняются $A\cap A^c=\varnothing$ и $A\cup A^c=U$: каждый элемент универсума либо принадлежит $A$, либо нет. Двойное дополнение возвращает исходное множество: $(A^c)^c=A$, поскольку для $x\in U$ отрицание непринадлежности равносильно принадлежности.
Дополнение пустого множества равно $U$, а дополнение самого $U$ пусто. Эти утверждения также относятся к выбранному универсуму, а не к неограниченному «всему на свете».
Проверка принадлежности дополнению состоит из двух частей: объект находится в универсуме и отсутствует в $A$. Одного отрицательного ответа о $A$ недостаточно. При фиксированном универсуме переход к дополнению меняет ответ для каждого его элемента на противоположный. Поэтому два последовательных перехода восстанавливают все исходные ответы. Если же между переходами изменить универсум, доказательство двойного дополнения больше не относится к той же операции: изменился круг объектов, для которых сравниваются ответы.
Связанные понятия: Разность множеств.
На пальцах
Дополнение похоже на список отсутствующих среди приглашённых на встречу. Сначала задан круг приглашённых, затем из него исключены пришедшие. Без этого круга в протокол попадёт почти вся планета, а собрание утонет в собственной документации. Человек без приглашения не считается отсутствующим приглашённым; изменение исходного списка меняет и ответ.
Пример
В учебной модели $U=\{1,2,3,4,5\}$ и $A=\{1,2,3\}$. Затем отдельно показан случай с результат при другом универсуме.
Дополнение множества
Фиксированный универсум
Область рассмотрения содержит только пять перечисленных элементов.
Шаг 1 из 3: Фиксированный универсум
Все шаги текстом
Фиксированный универсум
Область рассмотрения содержит только пять перечисленных элементов.
- U
- 1текущий2текущий3текущий4текущий5текущий
Исключение A
Элементы 1, 2 и 3 принадлежат A. Дополнение сохраняет 4 и 5.
- U
- 1исключён2исключён3исключён4включён5включён
- Дополнение
- 4включён5включён
Смена универсума
При U = {1,2,3,4} число 5 больше не рассматривается. Тот же A имеет другое дополнение.
- Новый U
- 1исключён2исключён3исключён4включён
- Новое дополнение
- 4включён
В первом универсуме числа 4 и 5 проходят обе проверки: они перечислены в $U$ и отсутствуют в $A$. Число 6 отсутствует в $A$ тоже, но дополнять им ответ нельзя, поскольку оно вне $U$. На последнем шаге пятёрка исчезает именно из области рассмотрения. Она не перешла в $A$ и не изменила свойства. Типичная ошибка — переносить старое дополнение в новую задачу, забыв проверить новый универсум.