Законы де Моргана

Как в учебнике

Пусть все множества $A_i$ лежат в фиксированном универсуме $U$, а индексы образуют множество $I$. Дополнение берётся только относительно $U$. Законы де Моргана утверждают:

$$U\setminus\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}(U\setminus A_i),\qquad U\setminus\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}(U\setminus A_i).$$

Для первого равенства достаточно произвольного $x\in U$. Не принадлежать объединению означает: не существует индекса $i$, для которого $x\in A_i$. Следовательно, для каждого $i$ верно $x\notin A_i$, то есть $x$ принадлежит каждому дополнению. Это условие принадлежности пересечению справа. Все переходы равносильны, поэтому доказаны оба включения.

Для второго равенства условие $x\notin\bigcap_{i\in I}A_i$ означает, что хотя бы для одного $i$ нарушена принадлежность $A_i$. Тогда $x\in U\setminus A_i$ хотя бы для одного индекса — именно условие объединения справа. Снова установлена равносильность.

Для двух множеств формулы читаются как $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ и $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$. Для пустого семейства действуют соглашения: объединение равно $\varnothing$, относительное пересечение — $U$. Тогда оба закона сохраняются.

Связанные понятия: Дополнение множества, Объединение множеств, Пересечение множеств.

Дополнения во всех частях равенства должны использовать один универсум. Смена $U$ меняет, какие элементы считаются внешними, и разрушает сравнение прежних выражений. Для двух множеств это можно проверить по четырём случаям принадлежности: элемент лежит в обоих, только в первом, только во втором или ни в одном. В каждом случае обе стороны одного закона дают одинаковый ответ на вопрос о включении элемента.