Как в учебнике
Для произвольных множеств $A$, $B$ и $C$ выполняются два дистрибутивных закона:
$$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C),$$
$$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C).$$
Доказательство первого закона использует произвольный элемент $x$. Слева требуется: $x$ принадлежит $C$ и хотя бы одному из $A$, $B$. Это равносильно двум альтернативам: $x$ принадлежит $A$ и $C$ либо принадлежит $B$ и $C$. Они задают правую часть. Равносильность условий доказывает равенство множеств.
Для второго закона существуют два случая. Если $x\in C$, то он принадлежит обоим объединениям справа и левой части. Если $x\notin C$, обе стороны требуют одновременной принадлежности $A$ и $B$. Условия снова совпадают при любом $x$.
Дистрибутивность меняет группировку операций, сохраняя множество элементов. Она не разрешает заменить объединение пересечением или убрать повторившееся $C$ из одной ветви.
В первом законе общее требование принадлежать $C$ применяется к каждой альтернативе. Это необходимо и для элементов, лежащих сразу в $A$ и $B$: повторение проверки не создаёт повторного элемента в результате. Закон применим и к пустым, и к совпадающим множествам, поскольку доказательство не использует их размер или различие. Он утверждает равенство результатов, но сам по себе не утверждает, что оба порядка вычислений требуют одинакового времени или памяти в программе.
Связанные понятия: Объединение множеств, Пересечение множеств.
На пальцах
Бассейн допускает владельцев абонемента или разового билета, но только со справкой. Проверка справок после объединения двух групп даёт тот же состав, что отдельная проверка каждой группы с последующим объединением. Двойственный закон так же распределяет общее разрешение между двумя обязательными требованиями. Правило в обеих ветвях должно оставаться одинаковым: алгебра не открывает запасной вход без справки.
Пример
Учебные множества: $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$ и $C=\{2,3,5\}$. В примере вычисляются левая и правая стороны обоих законов.
Дистрибутивность операций над множествами
Первый закон: слева
В объединении A и B остаются только элементы C: 2 и 3.
Шаг 1 из 4: Первый закон: слева
Все шаги текстом
Первый закон: слева
В объединении A и B остаются только элементы C: 2 и 3.
- A ∪ B
- 1исключён2включён3включён4исключён
- Результат
- 2включён3включён
Первый закон: справа
A пересекается с C по 2 и 3; B пересекается с C по 3. Их объединение снова даёт 2 и 3.
- A ∩ C
- 2включён3включён
- B ∩ C
- 3включён
- Результат
- 2включён3включён
Второй закон: слева
A и B имеют общую 3. После добавления C результат содержит 2, 3 и 5.
- A ∩ B
- 3текущий
- C
- 2включён3включён5включён
- Результат
- 2включён3включён5включён
Второй закон: справа
В двух объединениях общие элементы 2, 3 и 5. Состав снова совпал.
- A ∪ C
- 1исключён2включён3включён5включён
- B ∪ C
- 2включён3включён4исключён5включён
- Результат
- 2включён3включён5включён
В первых двух шагах сравниваются два способа получить $\{2,3\}$, в последних двух — два способа получить $\{2,3,5\}$. Эти два ответа не обязаны совпадать между собой: проверяются разные законы. Пятёрка особенно полезна для самопроверки: в первом законе её нет в исходном объединении $A$ и $B$, а во втором принадлежность $C$ уже допускает её. Типичная ошибка — сравнить соседние картинки разных законов вместо левой и правой частей одного равенства.