Как в учебнике
Объединение множеств $A$ и $B$ содержит все элементы, принадлежащие хотя бы одному из них:
$$A\cup B=\{x\mid x\in A\lor x\in B\}.$$
Логическое «или» здесь допускает оба условия. Общий элемент включается один раз. Из определения следуют $A\cup B=B\cup A$, $A\cup A=A$ и $A\cup\varnothing=A$. Каждое равенство получается сравнением условий принадлежности.
Для семейства множеств $(A_i)_{i\in I}$ правило то же: элемент должен принадлежать хотя бы одному множеству с индексом из $I$. Символ $\exists$ означает «существует»:
$$\bigcup_{i\in I}A_i=\{x\mid\exists i\in I:\ x\in A_i\}.$$
Если множество индексов $I$ пусто, подходящего индекса нет, поэтому объединение пустого семейства равно $\varnothing$.
Каждое исходное множество включено в объединение. Если некоторое $D$ содержит и $A$, и $B$, оно содержит их объединение: любой элемент объединения пришёл хотя бы из одного исходного множества и потому принадлежит $D$. Значит, объединение — наименьшее по включению множество, содержащее оба исходных. Последовательное добавление множеств не удаляет уже включённые элементы. Скобки при нескольких объединениях не меняют условия «хотя бы в одном», поэтому итог не зависит от группировки.
Связанные понятия: Принадлежность множеству.
На пальцах
Объединение похоже на общий список гостей из нескольких компаний: одного приглашения хватает для включения. Человек, приглашённый сразу двумя компаниями, всё равно приходит один — запасное тело операция не выдаёт. Новая компания добавляет только ещё не записанные имена. Итог хранит состав гостей, но не число приглашений и не сведения об их отправителях.
Пример
Учебные множества: $A=\{1,2,3\}$, $B=\{3,4\}$, $C=\{2,3,5\}$. Сначала показано объединение двух, затем трёх множеств.
Объединение множеств
Исходное A
Все элементы A уже удовлетворяют условию хотя бы одного множества.
Шаг 1 из 3: Исходное A
Все шаги текстом
Исходное A
Все элементы A уже удовлетворяют условию хотя бы одного множества.
- Результат
- 1включён2включён3включён
Добавление B
Число 3 уже было; новым становится только 4.
- B
- 34текущий
- Результат
- 1включён2включён3включён4текущий
Добавление C
Числа 2 и 3 уже есть; добавляется 5. Наличие хотя бы в одном множестве достаточно.
- C
- 235текущий
- Результат
- 1включён2включён3включён4включён5текущий
После добавления $B$ тройка не исчезает: «или» допускает одновременную принадлежность. После добавления $C$ двойка и тройка тоже остаются без новых копий, а пятёрка расширяет результат до пяти различных элементов. Проверка ответа действует в обе стороны: у каждого итогового числа есть исходное множество, и ни одно исходное число не потеряно. Простое сложение размеров исходных наборов дало бы восемь записей, но это подсчёт появлений, а не элементов объединения.