Как в учебнике
Запись $\exists x\in A:P(x)$ означает, что в области $A$ найдётся хотя бы один элемент, для которого предикат $P(x)$ истинен. Такой элемент называют свидетелем. Знак $\exists!$ усиливает условие: подходящий элемент существует и единственен. Обычное $\exists$ не запрещает нескольких свидетелей.
Для пустой области существование ложно: подходящего элемента предъявить нельзя. Отрицание имеет вид $\neg(\exists x\in A:P(x))\Leftrightarrow\forall x\in A:\neg P(x)$. Чтобы опровергнуть существование, нужно исключить всех допустимых кандидатов.
Область действия определяет, когда выбирают свидетеля. Утверждение $\exists y\in\mathbb R\;\forall x\in\mathbb R:y>x$ требует одного фиксированного $y$ и ложно. Оно не равно утверждению, разрешающему для каждого нового $x$ выбирать свой $y=x+1$.
Свидетель обязан одновременно принадлежать указанной области и удовлетворять предикату. Подходящее число вне области не доказывает утверждение. В конечной области поиск можно завершить после первого успеха, если требуется только истинность существования. При переборе бесконечной области отсутствие успеха за конечное число проверок не доказывает ложность: возможный свидетель мог ещё не быть рассмотрен. Для опровержения тогда нужен общий аргумент.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Утверждение «в ящике есть красный носок» подтверждается одним найденным красным носком. Второй не отменяет успех и даже помогает избежать привычной бытовой трагедии. Такой свидетель доказывает существование, но не единственность: «ровно один» требует исключить остальных подходящих кандидатов. Носок из другого ящика тоже не годится, поскольку область поиска входит в само утверждение.
Пример
Для учебного $A=\{2,4,6\}$ проверяется существование числа больше 3. Четвёрка станет свидетелем, а шестёрка покажет, почему утверждение с $\exists!$ было бы ложным.
Квантор существования: нужен один свидетель
Кандидат 2
Первый кандидат не подходит, но поиск ещё не завершён.
Шаг 1 из 3: Кандидат 2
Все шаги текстом
Кандидат 2
Первый кандидат не подходит, но поиск ещё не завершён.
- Состояние
- 2исключён46
Свидетель 4
Четвёрка доказывает существование подходящего элемента.
- Состояние
- 2исключён4включён6
Второй свидетель 6
Существование остаётся истинным, единственность уже невозможна.
- Состояние
- 2исключён4включён6включён
Неудача двойки показывает только, что этот кандидат не годится. Уже четвёрка делает существование истинным; проверка шестёрки нужна здесь для сравнения с единственностью. Если бы область ограничили множеством $\{2\}$, утверждение стало бы ложным, хотя число 4 по-прежнему существует среди действительных чисел. Поэтому область квантора задаёт допустимых свидетелей.
Дальше: Предикат, Квантор всеобщности.