Как в учебнике
Множество целых чисел обозначают $\mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$. Оно содержит натуральные числа, ноль и отрицательные целые. У целого числа нет ненулевой дробной части. Запись $a\in\mathbb Z$ ограничивает допустимые значения именно этим множеством.
Сложение, вычитание и умножение целых дают целые результаты. Деление не всегда сохраняет целочисленность: $3/2$ не входит в $\mathbb Z$. Каждое целое $n$ можно представить как $n/1$, поэтому $\mathbb Z$ включено в множество рациональных чисел. Обратное включение неверно.
Для каждого целого $n$ существует противоположное целое $-n$, и их сумма равна нулю. Между соседними целыми $n$ и $n+1$ других целых нет. Это свойство относится к выбранной единице измерения: величина, записанная целым числом в одних единицах, может стать дробной в других. Принадлежность $\mathbb Z$ проверяется у числа в объявленной модели, а не по его физическому названию.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Целые числа описывают целые шаги в обе стороны от нуля. В учебном складском балансе начальные две единицы после выдачи трёх превращаются в −1: знак показывает долг, а не отрицательное яблоко на полке. Дробного остатка эта модель не допускает, поэтому три предмета на двоих без смены единицы учёта уже требуют других чисел. Искать отрицательный ящик кладовщику незачем: баланс хранит обязательство, а не буквальное содержимое склада.
Пример
В учебной модели баланса вычитание 3 из начальных 2 даёт −1. Последний шаг покажет границу модели: результат деления 3 на 2 уже не целый.
Целые числа: счёт по обе стороны нуля
Начальный баланс
Число 2 — целое и положительное.
Шаг 1 из 3: Начальный баланс
Все шаги текстом
Начальный баланс
Число 2 — целое и положительное.
- Состояние
- 2текущий
Вычитание
Баланс проходит через ноль и становится −1, оставаясь целым.
- Состояние
- 2текущий−3текущий−1текущий
Деление
Полтора не принадлежит множеству целых.
- Состояние
- 3÷23/2исключён
Вычитание раскладывается на три единичных шага: $2\to1\to0\to-1$. Каждый переход остаётся внутри множества целых, поэтому отрицательный итог не нарушает модель баланса. С делением ситуация другая: искомое число $q$ должно удовлетворять $2q=3$, а целого решения нет. Округление до 1 создало бы другой результат и оставило бы непогашенный остаток; это уже не точное равенство исходной задачи.
Дальше: Натуральные числа, Рациональные числа.