Как в учебнике
В этой статье натуральные числа обозначаются $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$. Они задают положительные целые значения счётчика. Множество с нулём обозначается отдельно: $\mathbb N_0=\{0,1,2,\ldots\}$. В некоторых книгах ноль сразу включают в $\mathbb N$, поэтому соглашение проверяют до использования формулы.
Натуральными числами можно нумеровать измерения: $x_1,x_2,x_3$. Индекс выбирает элемент и сам не является множителем. Здесь нумерация начинается с единицы; запись с индексом 0 допустима только при другом оговорённом соглашении. Все натуральные числа входят в множество целых, но отрицательные целые натуральными не являются.
Сумма и произведение положительных натуральных чисел снова натуральны. Вычитание может выйти за пределы выбранного множества: например, $2-3=-1$. У каждого натурального $n$ есть следующее число $n+1$, поэтому наибольшего натурального числа нет. Это не мешает конечному счёту иметь последнее значение: ограниченный список и всё множество натуральных чисел являются разными объектами.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Натуральные числа служат для счёта целых объектов: яблоки дают ответы 1, 2, 3, а половина яблока описывает уже размер порции. После любого такого числа счёт может продолжиться — яблоки закончатся раньше чисел. Пустая корзина требует отдельного соглашения о нуле: одни обозначения включают его в натуральные числа, другие исключают. Единой паспортной службы у математики нет, поэтому соглашение задаётся явно.
Пример
В примере сравниваются учебные значения 3, 0, −1 и $1/2$. Сначала действует выбранное $\mathbb N$ без нуля. Затем область явно расширяется до $\mathbb N_0$; другие неподходящие значения от этого не допускаются.
Натуральные числа: счёт отдельных объектов
Положительный счёт
Тройка допустима как количество целых объектов.
Шаг 1 из 3: Положительный счёт
Все шаги текстом
Положительный счёт
Тройка допустима как количество целых объектов.
- Состояние
- 3включён0−11/2
Выбранное соглашение
Ноль, отрицательное число и дробь не входят в выбранное N.
- Состояние
- 3включён0исключён−1исключён1/2исключён
Счёт с нулём
В N₀ ноль допускается, но −1 и половина по-прежнему нет.
- Состояние
- 3включён0включён−1исключён1/2исключён
Переход к $\mathbb N_0$ меняет только решение для нуля из показанных кандидатов. Он не превращает $-1$ в допустимое количество и не устраняет дробную часть у $1/2$. Если условие допускает пустой набор наблюдений, счётчику размера понадобится нулевое значение. Если речь о номере элемента непустой нумерации с единицы, первый допустимый номер равен 1. Эти задачи используют близкие числа, но разные оговорённые диапазоны.
Дальше: Целые числа.