Как в учебнике
Для целых $m\le n$ для чисел $a_i$ конечная сумма определена как $\sum_{i=m}^na_i:=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n$. Границы включены, индекс $i$ выбирает очередное слагаемое. Допускается запись по конечному множеству индексов $\sum_{i\in I}a_i$; пустая сумма равна 0.
Индекс, связанный знаком суммы, можно переименовать, если не возникает конфликта. В $\sum_{i=1}^na_{ij}$ индекс $i$ исчезает после сложения, а $j$ остаётся свободным: каждому столбцу соответствует свой результат. Нижний индекс — метка элемента, не множитель. Математическая сумма задаёт результат; порядок машинного сложения и округление рассматривают отдельно. Бесконечные суммы требуют проверки сходимости.
Границы от $m$ до $n$ включают $n-m+1$ слагаемых. Если выражение под суммой постоянно равно $c$, результат поэтому равен $(n-m+1)c$. Скобки определяют область действия: в $\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)$ складываются оба значения для каждого индекса. Число, записанное после законченной суммы вне скобок, прибавляется один раз, а не автоматически при каждом шаге перебора.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Большая сигма собирает итог по выбранным строкам чека: границы задают номера, а выражение внутри — вклад каждой строки. Имена индексов $i$ и $j$ на итог не влияют, как переименование кассира не меняет стоимость покупки. Строка с номером 3 не обязана стоить три рубля: индекс выбирает слагаемое, а не заменяет его. Пустой чек даёт ноль, но неполные границы не объясняют кассиру, когда закончить.
Пример
Для исходных учебных измерений $x_1=2$, $x_2=4$, $x_3=6$ сумма накапливается последовательно. После третьего шага индекс больше не участвует в результате 12.
Конечная сумма: что перебирает большая сигма
Индекс 1
Начальная сумма 0 увеличивается на первый элемент 2.
Шаг 1 из 3: Индекс 1
Все шаги текстом
Индекс 1
Начальная сумма 0 увеличивается на первый элемент 2.
- Состояние
- 0текущий+2текущий2текущий
Индекс 2
К накопленным 2 прибавляется 4.
- Состояние
- 2текущий+4текущий6текущий
Индекс 3
Последнее слагаемое 6 доводит сумму до 12.
- Состояние
- 6текущий+6текущий12текущий
В сцене второй результат 6 уже включает первые два измерения. Поэтому финальный шаг прибавляет к нему только последнее 6 и получает 12, не пересчитывая первые слагаемые ещё раз. Полная запись суммы проверяет результат: $2+4+6$. Полученное число 12 не обязано совпадать с последним значением 6; индекс закончился, но накопленные вклады предыдущих шагов остались в ответе.
Дальше: Конечное произведение.