Как в учебнике
Отрицание $\neg P$ истинно, когда высказывание $P$ ложно, и ложно, когда $P$ истинно. Двойное отрицание возвращает исходное значение: $\neg\neg P\Leftrightarrow P$ в классической логике.
Для действительного $x$ отрицание условия $x>3$ — это $x\le3$, а не $x<3$. Граничное равенство входит в отрицание, потому что исходное условие его исключало. Чтобы отрицать составное утверждение, нужно учитывать всю его область действия; скобки показывают, какую формулу меняет знак $\neg$.
В классической двухзначной логике исходное высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Для числового условия оба вместе должны покрывать всю объявленную область без пересечения. Замена $x>3$ на $x<3$ не выполняет эту проверку: точка $x=3$ остаётся вне обоих условий. Выбор области существенен, поскольку отрицание рассматривается именно внутри неё.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Отрицание меняет истинный ответ на ложный и ложный на истинный, поэтому «не старше трёх» включает ровно три. Допустимые случаи делятся на две корзины: прошедшие исходную проверку и не прошедшие её. Потерянное между корзинами граничное число означает ошибку сортировки, а не особый вид отрицания. Модель предполагает определённый ответ проверки: «ещё не измерено» само по себе не означает математическую ложь.
Пример
Пример использует $P(x):x>3$. Для 2 и 3 исходный ответ ложен; для 4 истинен. Отрицание должно поменять все три ответа.
Отрицание: поменять истинность условия
Исходное условие
Порог проходит только 4.
Шаг 1 из 3: Исходное условие
Все шаги текстом
Исходное условие
Порог проходит только 4.
- Состояние
- 2: ложьтекущий3: ложьтекущий4: истинатекущий
Отрицание
Теперь проходят 2 и граничное 3.
- Состояние
- 2: истинатекущий3: истинатекущий4: ложьтекущий
Двойное отрицание
Повторное переключение возвращает исходные ответы.
- Состояние
- 2: ложьтекущий3: ложьтекущий4: истинатекущий
После первого переключения успешные значения 2 и 3 должны остаться именно теми, которые исходное условие отклонило. Поэтому важно проверить 3 отдельно: значения вдали от границы не обнаружили бы ошибку со знаком. После второго переключения восстанавливается весь исходный набор ответов, а не только число успешных проверок. Совпадения количества единиц недостаточно, если они оказались у других входов.
Дальше: Импликация.