Как в учебнике
Запись $\forall x\in A:P(x)$ означает, что предикат $P(x)$ истинен для каждого элемента области $A$. Квантор $\forall$ связывает переменную $x$ внутри своей области действия. Для доказательства нужно рассмотреть произвольный допустимый элемент; для опровержения достаточно одного контрпримера.
Отрицание всеобщности имеет вид $\neg(\forall x\in A:P(x))\Leftrightarrow\exists x\in A:\neg P(x)$. Здесь знак существования требует одного нарушителя. Для пустой области всеобщее утверждение истинно: элементов, нарушающих условие, нет.
При вложенных кванторах важен порядок. В $\forall x\in\mathbb R\;\exists y\in\mathbb R:y>x$ свидетель $y=x+1$ зависит от выбранного $x$. Если потребовать одно $y$ сразу для всех $x$, утверждение станет ложным: для любого такого $y$ найдётся $x=y+1$.
В доказательстве произвольный элемент не означает случайно выбранный или удобный пример. Рассуждение может использовать только свойства, обязательные для каждого элемента указанной области. Если доказательство дополнительно предполагает, что число положительно, область должна гарантировать это условие. Утверждение о всех элементах подмножества не переносится автоматически на большую область. Напротив, истинное всеобщее утверждение сохраняется при ограничении области: новых нарушителей такое ограничение создать не может.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Слово «все» распространяет утверждение на каждый элемент указанной области: три удачных случая не исключают нарушения в четвёртом. Один неисправный стул опровергает обещание об исправности всех стульев, но осмотр первого ряда не подтверждает его для всего зала. Общее доказательство может охватить всю область без буквального обхода с отвёрткой. А обещание подходящего стула каждому человеку допускает разные стулья и не требует одного чудо-стула для всех: порядок выбора меняет смысл.
Пример
На учебном $A=\{2,4,6\}$ проверяется утверждение «все элементы больше 3». После проверки двойки результат уже ложен; остальные значения показывают всю конечную область.
Квантор всеобщности: условие для каждого
Элемент 2
Двойка — контрпример всеобщему утверждению.
Шаг 1 из 3: Элемент 2
Все шаги текстом
Элемент 2
Двойка — контрпример всеобщему утверждению.
- Состояние
- 2исключён46
Элемент 4
Успех четвёрки не отменяет уже найденного нарушителя.
- Состояние
- 2исключён4включён6
Элемент 6
Область проверена, но одного провала достаточно для отрицания «все».
- Состояние
- 2исключён4включён6включён
Двойка принадлежит названной области, поэтому её провал действительно опровергает утверждение. Число вне $A$, даже нарушающее условие, здесь контрпримером не было бы. Успехи четвёрки и шестёрки показывают, что утверждение не означает «никто не подходит»: оно ложно, хотя часть элементов проходит проверку. Отрицание «не все» отличается от «все не»: первое требует хотя бы одного нарушителя, второе запрещает успех каждому элементу.
Дальше: Предикат, Квантор существования, Доказательство.