Приближённое равенство и погрешность

Как в учебнике

Запись $a\approx b$ сообщает, что одно число приближает другое. Сам знак не задаёт точность. Если $b$ приближает точное значение $a$, абсолютная погрешность равна $|a-b|$, а требование точности записывают как $|a-b|\le\varepsilon$, где $\varepsilon\ge0$ задано заранее.

Например, $\sqrt2\approx1.414$. Чтобы утверждать допустимость такого округления для задачи, нужно сравнить ошибку с её допуском. Количество показанных десятичных знаков само по себе не заменяет условия на погрешность; единицы у ошибки и допуска должны совпадать.

Для ненулевого $a$ относительная погрешность равна $|a-b|/|a|$. Она сравнивает ошибку с масштабом величины. При $a=0$ это отношение не определено, поэтому около нуля особенно важно явно выбирать критерий точности.

Неформальное $u\ll v$ для положительных величин часто означает малость отношения $u/v$ в контексте задачи. Универсального порога «в сто раз» нет. В отдельных областях у этого символа есть строгое специальное определение; оно имеет приоритет.

Допуск относится к разности значений, а не к выбранному способу их записи. Умножение обеих длительностей на 1000 при переходе от секунд к миллисекундам во столько же раз меняет абсолютную ошибку и её допуск, но сохраняет относительную ошибку. Сравнивать число ошибки в одних единицах с числом допуска в других нельзя. Равенство ошибке на границе допуска удовлетворяет записанному нестрогому неравенству.

Определения и обозначения: Deep Learning: Notation.