Пропорциональность: постоянное отношение

Как в учебнике

На рассматриваемой области запись $f(x)\propto g(x)$ означает существование постоянного множителя $c$, не зависящего от $x$, такого что $f(x)=c\,g(x)$ для всех допустимых $x$. Значение $c$ может зависеть от других параметров, которые в этом сравнении фиксированы.

Там, где $g(x)\ne0$, отношение $f(x)/g(x)$ должно оставаться равным $c$. Если $g(x)=0$, равенство требует и $f(x)=0$; делить на ноль при проверке нельзя. Пропорциональность проверяется на всей объявленной области, а не по одному удачному наблюдению.

При фиксированной цене за штуку стоимость пропорциональна количеству. Если добавить постоянную плату за доставку, зависимость $f(x)=cx+b$ с $b\ne0$ уже не является прямой пропорциональностью. Также $x$ и $x^2$ растут при $x>0$, но отношение $x^2/x=x$ непостоянно.

Постоянство коэффициента позволяет сравнивать любые две допустимые точки, а не только соседние наблюдения. Из $f(x)=c\,g(x)$ следует $f(x_1)g(x_2)=f(x_2)g(x_1)$; такая проверка не требует деления. Однако равенство в нескольких точках подтверждает лишь эти точки. Для утверждения на всей области нужна формула или обоснование модели. При смене единиц измерения численное значение коэффициента может измениться, поэтому единицы должны оставаться согласованными.

Определения и обозначения: Deep Learning: Notation.