Как в учебнике
Для положительного целого $k$ степень $a^k$ — произведение $k$ одинаковых множителей $a$. Если $a\ne0$, принимают $a^0=1$ и $a^{-k}=1/a^k$. Отрицательный показатель обращает результат, а не меняет знак основания. Запись $0^0$ требует отдельного соглашения.
Для положительного основания степень можно расширить на дробные показатели: $a^{1/k}=\sqrt[k]{a}$. При других основаниях область допустимых значений проверяют отдельно. Скобки меняют основание: $(-2)^2=4$, но $-2^2=-(2^2)=-4$. Верхний индекс иногда служит меткой, например $x^{(2)}$; смысл задаётся соглашением текста.
Для целых показателей и ненулевого основания выполняется $a^p a^q=a^{p+q}$. При положительных показателях это следует из соединения цепочек множителей; определения нулевой и отрицательных степеней сохраняют то же правило. В частности, $a^k a^{-k}=a^0=1$, что объясняет необходимость обратной величины. Исключение нулевого основания здесь существенно, поскольку обратного к нулю числа не существует.
Определения и дальнейшее чтение: Basic Analysis I.
На пальцах
Степень упаковывает одинаковые множители: в $2^3$ двойка повторяется три раза, что отличается от $2\cdot3$. Нулевая степень ненулевого основания даёт нейтральную единицу, отрицательная — обратную величину положительной степени. Минус в показателе меняет направление масштаба, а не настроение числа. Скобки определяют основание целиком: минус внутри и минус перед готовым результатом могут дать разные ответы, словно посылка с неверно указанным адресом.
Пример
Пример использует основание 2 и показатели 3, 0 и −3. После расчёта положительной степени находится обратная величина. Для нулевого основания этот последний переход запрещён.
Степень: повторяющееся умножение
Три множителя
В произведении три двойки, результат 8.
Шаг 1 из 3: Три множителя
Все шаги текстом
Три множителя
В произведении три двойки, результат 8.
- Состояние
- 2текущий2текущий2текущий8текущий
Нулевой показатель
Ненулевое основание в нулевой степени даёт 1.
- Состояние
- 2текущий0текущий1текущий
Обратная величина
Для показателя −3 результат равен обратной величине уже найденных 8.
- Состояние
- 8текущий1/8текущий
Переход от 8 к $1/8$ можно проверить умножением: результат снова равен 1. Нулевая степень тоже равна 1, но не получается из правила «произведение основания на показатель»: такое правило дало бы 0 и уже противоречило бы свойствам степеней. Во всех трёх состояниях основание сохраняется равным 2; меняется именно показатель и связанная с ним операция над множителями.
Дальше: Корень.