Как в учебнике
Для действительного $a\ge0$ квадратный корень $\sqrt a$ — единственное неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Поэтому $\sqrt9=3$, хотя уравнение $x^2=9$ имеет два решения: 3 и −3. Корень обозначает выбранное значение, а не весь набор решений уравнения.
Для целого $k\ge2$ и $a>0$ положительный корень $\sqrt[k]{a}$ равен $a^{1/k}$. При чётном $k$ отрицательное $a$ не имеет действительного корня. При нечётном $k$ действительный корень существует и для отрицательного $a$, например $\sqrt[3]{-8}=-2$. Область чисел нужно назвать до вычисления.
Для любого действительного $x$ верно $\sqrt{x^2}=|x|$, потому что выбранный корень неотрицателен. Сокращение корня с квадратом до $x$ без условия $x\ge0$ ошибочно. Например, при $x=-3$ выражение равно 3. При нулевом подкоренном выражении корень любого целого порядка $k\ge2$ равен нулю. Чётность порядка влияет на отрицательные входы, но не меняет этот нулевой случай.
Определения и дальнейшее чтение: Basic Analysis I.
На пальцах
Квадратный корень восстанавливает сторону по площади: площадь 9 даёт неотрицательную сторону 3. Уравнение о числе, квадрат которого равен 9, допускает также −3, но знак корня выбирает одно неотрицательное значение. Для корня нечётного порядка отрицательный ответ допустим, поэтому строительная картинка не описывает все корни. Вместе с отрицательной длиной не стоит выселять из математики законный кубический корень.
Пример
В учебном примере проверяются кандидаты для числа 9. Решения уравнения сравниваются со значением квадратного корня. Проверка возведением в квадрат обязательна, но для выбора корня нужно ещё условие неотрицательности.
Корень: какое число возвели в степень
Положительный кандидат
Квадрат 3 равен 9, кандидат подходит.
Шаг 1 из 3: Положительный кандидат
Все шаги текстом
Положительный кандидат
Квадрат 3 равен 9, кандидат подходит.
- Состояние
- 3текущий3текущий9текущий
Отрицательный кандидат
Квадрат −3 тоже равен 9: у уравнения два решения.
- Состояние
- −3текущий−3текущий9текущий
Выбор корня
Знак корня оставляет только неотрицательное значение 3.
- Состояние
- −3исключён3включён
Для кандидата $-3$ проверка квадрата проходит, а проверка неотрицательности — нет. Именно вторая проверка исключает его из значения $\sqrt9$, не отрицая его права решать уравнение. Полезно записывать два результата раздельно: решение уравнения $x\in\{-3,3\}$ и значение выражения $\sqrt9=3$. Знак $\pm$ относится к множеству решений, а запись $\sqrt9=\pm3$ нарушила бы однозначность выбранного значения.
Дальше: Степень.