Как в учебнике
При $b>0$, $b\ne1$ и $x>0$ логарифм $\log_bx$ — единственное действительное $y$, для которого $b^y=x$. Например, $\log_28=3$, поскольку $2^3=8$. Основание определяет, какой показатель требуется найти.
Натуральный логарифм $\ln x=\log_ex$ использует $e\approx2.71828$. Записи $\log x$ и $\lg x$ зависят от соглашения автора: основание лучше назвать явно. Для положительных $x,y$ выполняются равенства $\log_b(xy)=\log_bx+\log_by$ и $\log_bx=\ln x/\ln b$.
На сумму это правило не переносится. Например, $\log_2(4+4)=3$, а $\log_24+\log_24=4$. Один случай случайного совпадения не доказывает тождество.
Правило произведения следует из сложения показателей: если $x=b^u$ и $y=b^v$, то $xy=b^{u+v}$, поэтому $\log_b(xy)=u+v$. Для $b>1$ логарифм возрастает, а для $0<b<1$ убывает. Нулевой результат соответствует входу 1, поскольку $b^0=1$. Отрицательное значение логарифма допустимо: при $b>1$ его дают входы между нулём и единицей.
Определения и дальнейшее чтение: Basic Analysis I.
На пальцах
Логарифм восстанавливает показатель степени: переходы от 1 через 2 и 4 к 8 требуют трёх удвоений. Основание задаёт размер каждого такого шага, поэтому его смена меняет ответ. Показатель может быть дробным, а для значений ниже единицы при основании больше единицы — отрицательным. Лестница помогает понять направление, но число 3 между соседними степенями двойки не становится незаконной остановкой.
Пример
В учебном примере последовательное удвоение увеличивает начальную 1 до 8. Счётчик удвоений станет значением $\log_28$.
Логарифм: восстановление показателя степени
Одно удвоение
Удвоение 1 даёт 2: показатель равен 1.
Шаг 1 из 3: Одно удвоение
Все шаги текстом
Одно удвоение
Удвоение 1 даёт 2: показатель равен 1.
- Состояние
- 1текущий2текущий
Два удвоения
Ещё одно удвоение даёт 4.
- Состояние
- 1текущий2текущий4текущий
Три удвоения
Достигли 8 за три шага, значит логарифм равен 3.
- Состояние
- 1текущий2текущий4текущий8текущий
У счётчика есть исходное состояние: перед первым удвоением значение равно 1, а число шагов равно нулю. Именно поэтому $\log_2 1=0$, а не 1. Проверка ответа делается обратной подстановкой: полученный показатель 3 должен дать $2^3=8$. Если вместо основания 2 взять 8, для того же входа потребуется показатель 1. Вход сохранился, но вопрос об используемом основании изменился.
Дальше: Степень.