Как в учебнике
Импликация $P\Rightarrow Q$ ложна только при истинном $P$ и ложном $Q$. Во всех остальных случаях она истинна. Условие $P$ достаточно для $Q$, а $Q$ необходимо для $P$. Необходимое условие требуется, но само по себе не гарантирует результат.
Для целого $n$ из делимости на 4 следует чётность. Обратное утверждение неверно: 6 чётное, но на 4 не делится. Импликация задаёт логическую зависимость и не обязана обозначать причину во времени. Ложность предпосылки не доказывает ложности следствия.
Для доказательства утверждения о делимости берётся произвольное целое $n=4k$. Тогда $n=2(2k)$, где $2k$ целое, следовательно, $n$ чётно. В рассуждении не предполагается заранее, что любое чётное число делится на 4. Проверка контрпримера к исходной импликации имела бы другую цель: найти число, которое делится на 4, но не чётно.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Импликация похожа на гарантию «при купленном билете вход на сеанс открыт»: нарушение возникает только при купленном билете и закрытом входе. О посетителе без билета эта гарантия ничего не утверждает, поэтому приглашение может дать другой путь внутрь. Так и делимость на 4 гарантирует чётность, хотя чётное число может не делиться на 4. Проверяется одна конкретная гарантия, а не весь порядок работы кинотеатра или родословная двойки.
Пример
Пример проверяет условие для учебных чисел 4, 6 и 3. Ни один случай не даёт истинную предпосылку с ложным следствием. Число 6 одновременно опровергает обратное утверждение.
Импликация: что обещает «если, то»
Число 4
Делится на 4 и чётное: обещание выполнено.
Шаг 1 из 3: Число 4
Все шаги текстом
Число 4
Делится на 4 и чётное: обещание выполнено.
- Состояние
- P: истинатекущийQ: истинатекущий
Число 6
Предпосылка ложна, следствие истинно; обратное направление неверно.
- Состояние
- P: ложьтекущийQ: истинатекущий
Число 3
Оба условия ложны; нарушения исходного обещания нет.
- Состояние
- P: ложьтекущийQ: ложьтекущий
У числа 6 ложна предпосылка исходного правила, поэтому оно не является его контрпримером. Зато у обратного правила предпосылка «чётное» истинна, а заключение «делится на 4» ложно. Одно и то же число играет разные роли после перестановки стрелки. Числа 4, 6 и 3 показывают допустимые сочетания; общее доказательство через $4k$ объясняет, почему запрещённое сочетание не встретится ни у какого целого.
Дальше: Равносильность.