Условная вероятность: пересчитать веса после условия

Как в учебнике

Для событий $A$ и $B$ с $P(B)>0$ условная вероятность определяется отношением вероятности их пересечения к вероятности условия:

$$P(A\mid B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Событие $B$ ограничивает рассматриваемые исходы. Деление на $P(B)$ нормирует их веса так, чтобы вероятность всего оставшегося пространства стала равна 1. В формулу входят исходные вероятности, поэтому она работает и при неравных весах.

Для честного кубика пусть $A$ — результат больше 3, а $B$ — чётный результат. Среди $\{2,4,6\}$ подходят 4 и 6, поэтому $P(A\mid B)=2/3$. При этом $P(A)=1/2$, а $P(B\mid A)=2/3$ в этом конкретном примере; совпадение двух условных вероятностей здесь случайно и не является общим правилом.

Условие не обязано описывать причину события. В общем случае $P(A\mid B)\ne P(B\mid A)$. Если $P(B)=0$, эта формула отношения не определена; условные распределения в более общих моделях требуют отдельного определения.

Числитель должен относиться одновременно к событию и условию: исходы из $A$, лежащие вне $B$, больше не участвуют. Поскольку $A\cap B\subseteq B$, отношение остаётся между 0 и 1. В частности, $P(B\mid B)=1$, а при несовместных $A$ и $B$ условная вероятность равна нулю. Деление на вероятность условия восстанавливает единичный общий вес, не делая оставшиеся исходы автоматически равновероятными.

Определения и обозначения: Mathematics for Computer Science; Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Вероятность события в конечной модели.