Предел последовательности

Как в учебнике

Последовательность $a_1,a_2,\ldots$ имеет предел $L$, если для любого $\varepsilon>0$ существует номер $N$, такой что $|a_n-L|<\varepsilon$ для всех $n\ge N$. Пишут $a_n\to L$ при $n\to\infty$.

Номер $N$ может зависеть от точности $\varepsilon$. После него условие обязано выполняться для всего хвоста, а не только для бесконечно многих выбранных членов. Любое конечное начало не влияет на существование и значение предела.

Для $a_n=1/n$ предел равен 0. При любом $\varepsilon>0$ существует натуральное $N>1/\varepsilon$; тогда при $n\ge N$ выполняется $|a_n|=1/n\le1/N<\varepsilon$. Ни один член этой последовательности не равен нулю, но предел существует.

Чередование $(-1)^n$ предела не имеет: его члены продолжают попадать в −1 и 1. Близость одной подпоследовательности недостаточна. В отличие от конечного списка, бесконечный хвост нельзя проверить простым перечислением всех членов.

Порядок требований в определении фиксирован: сначала выбирается произвольный положительный допуск, затем подходящий ему номер. Один номер не обязан подходить всем допускам сразу. Также сходимость не требует монотонности: члены могут подходить к пределу с разных сторон, если весь достаточно поздний хвост остаётся в каждом заданном коридоре. Доказательство строится для произвольного допуска; проверка нескольких численных допусков только иллюстрирует его, но не заменяет.

Определения и обозначения: Basic Analysis I.

Связанные понятия: Предел функции: точное значение «приближается».