Как в учебнике
Если $A\in\mathbb R^{m\times n}$ и $B\in\mathbb R^{n\times p}$, произведение $AB\in\mathbb R^{m\times p}$ определяют формулой $(AB)_{ij}:=\sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}$. Внутренние размеры $n$ должны совпасть. Для ячейки результата перемножают соответствующие элементы строки $i$ и столбца $j$, затем складывают.
Умножение матрицы на вектор-столбец — тот же случай при $p=1$. Операция отличается от поэлементного произведения: каждый выход обычно зависит от нескольких входных чисел. Менять множители местами без проверки нельзя: обратное произведение может иметь другой размер, другой результат или не быть определено.
В формуле индексы $i$ и $j$ определяют адрес результата, а $k$ перебирает слагаемые внутри одной ячейки. Его диапазон одинаков для выбранной строки и столбца благодаря совпадению внутренних размеров. При $n=1$ сумма содержит одно произведение, но правило остаётся тем же. Нулевые элементы дают нулевые вклады, однако их позиции и согласование размерностей сохраняются.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Умножение матриц похоже на набор рецептов: строка задаёт коэффициенты, а столбец приносит соответствующие количества. Попарные произведения складываются в один выход, после чего следующая строка задаёт новый рецепт. Совпадение внутренних размеров проверяет число позиций, но смысловая согласованность данных проверяется отдельно. Кухня способна вычислить заказ с перепутанными мукой и солью без философских возражений; совпадения адресов на упаковке мало.
Пример
В исходном учебном примере матрица с рядами $(1,2)$, $(0,1)$ умножается на столбец $(3,4)^{\mathsf T}$. Проверка размерностей предшествует вычислению двух выходов.
Матричное умножение: строка встречает столбец
Совместимые размеры
Внутренние двойки совпадают; результат будет столбцом из двух чисел.
Шаг 1 из 3: Совместимые размеры
Все шаги текстом
Совместимые размеры
Внутренние двойки совпадают; результат будет столбцом из двух чисел.
- A₁
- 1текущий2текущий
- A₂
- 0текущий1текущий
- x
- 3текущий4текущий
Первый выход
Первая строка даёт 1 × 3 + 2 × 4 = 11.
- A₁
- 1 × 3текущий2 × 4текущий
- y₁
- 11текущий
Второй выход
Вторая строка даёт 0 × 3 + 1 × 4 = 4.
- A₂
- 0 × 3текущий1 × 4текущий
- y
- 11текущий4текущий
Первый выход 11 содержит вклад 3 от первого входа и вклад 8 от второго. Во втором выходе первая координата умножается на ноль, поэтому остаётся только 4. Результат хранит эти два выхода раздельно: складывать 11 и 4 между собой не нужно. Быстрая проверка формы тоже помогает: матрица с двумя строками и столбец дают столбец с двумя результатами, а не одно число и не таблицу из четырёх.
Дальше: Конечная сумма, Поэлементное произведение.