Как в учебнике
Для действительных векторов одинаковой размерности $v,w\in\mathbb R^d$ поэлементное произведение $v\odot w$ определяют правилом $(v\odot w)_i=v_iw_i$. Результат — вектор той же размерности; произведения координат не складывают.
Аналогично для матриц одинаковой формы $(A\odot B)_{ij}=A_{ij}B_{ij}$. Это отличается от матричного умножения, где совпадают внутренние размеры и суммируются вклады. Для исходных $v=(3,-4)^{\mathsf T}$ и $w=(1,2)^{\mathsf T}$ верно $v\odot w=(3,-8)^{\mathsf T}$. Символ операции и контракт библиотеки нужно проверять: обычный знак умножения в коде не всегда означает одно и то же.
Одинаковой длины записи недостаточно: координаты должны обозначать одни и те же позиции в согласованном порядке. Перестановка только одного вектора меняет пары множителей и обычно меняет результат. Для действительных координат операция коммутативна, поскольку $v_iw_i=w_iv_i$ в каждой позиции. Нулевой множитель обнуляет только соответствующую координату; остальные позиции вычисляются независимо.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Поэлементное произведение похоже на отдельную настройку громкости каждого канала: уровень умножается на коэффициент с тем же номером. Ноль выключает канал, единица оставляет уровень прежним. Результаты сохраняют отдельные позиции и не складываются в одно число. Перестановка коэффициентов способна выключить другой микрофон — операция останется корректной, а совещание внезапно станет интереснее.
Пример
В примере участвуют те же учебные векторы, что и для скалярного произведения. Произведения 3 и −8 остаются в отдельных координатах, что позволяет сравнить тип результата.
Поэлементное произведение: координаты остаются на месте
Входные векторы
Размерности совпадают: по две координаты.
Шаг 1 из 3: Входные векторы
Все шаги текстом
Входные векторы
Размерности совпадают: по две координаты.
- v
- 3текущий−4текущий
- w
- 1текущий2текущий
Пары координат
У каждой позиции своё произведение.
- v ⊙ w
- 3 × 1текущий−4 × 2текущий
Результат-вектор
Числа 3 и −8 остаются отдельными, без сложения.
- v ⊙ w
- 3текущий−8текущий
Проверка результата выполняется по координатам: первая равна $3\cdot1=3$, вторая равна $(-4)\cdot2=-8$. Отрицательный знак сохраняется во второй позиции, поскольку один из её множителей отрицателен. Ответ должен содержать два числа, поэтому одиночное $-5$ сразу обнаруживает лишнее сложение. Если бы второй коэффициент был нулём, ответ стал бы $(3,0)^{\mathsf T}$: первая координата от изменения соседней пары не зависит.
Дальше: Скалярное произведение, Матричное умножение.