Как в учебнике
Для действительных векторов $v,w\in\mathbb R^d$ скалярное произведение равно $v^{\mathsf T}w=\sum_{i=1}^d v_iw_i$. Длины векторов должны совпадать. Результат — одно действительное число. Другое обозначение — $\langle v,w\rangle$.
При $v=(3,-4)^{\mathsf T}$ и $w=(1,2)^{\mathsf T}$ вычисление даёт $3\cdot1+(-4)\cdot2=-5$. Отрицательные вклады не отбрасываются и не заменяются модулями. В отличие от поэлементного произведения, отдельные результаты координат затем складываются; это меняет тип результата.
Перестановка двух векторов не меняет результат: в каждой координате $v_iw_i=w_iv_i$. Кроме того, $v^{\mathsf T}v=\sum_i v_i^2\ge0$, и для действительных координат равенство нулю возможно только у нулевого вектора. Для двух разных векторов нулевой результат такого вывода не даёт: положительные и отрицательные вклады могут сократиться. Вычисление требует согласованного порядка координат, а не только одинаковой длины списков.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Скалярное произведение похоже на итог счёта: количество каждого товара умножается на его цену, затем вклады складываются. Пары должны соответствовать друг другу по позиции, иначе оплачивается странный ассортимент. В математической модели веса могут быть отрицательными, как скидки или вычеты, поэтому знаки сохраняются. Результат — одно число; оставшийся список означает, что кассир ещё не подвёл итог.
Пример
Исходные учебные векторы — $(3,-4)^{\mathsf T}$ и $(1,2)^{\mathsf T}$. Сначала вычисляются два вклада, затем они складываются с сохранением знаков.
Скалярное произведение: из двух векторов в число
Первая координата
Произведение 3 и 1 даёт вклад 3.
Шаг 1 из 3: Первая координата
Все шаги текстом
Первая координата
Произведение 3 и 1 даёт вклад 3.
- Состояние
- 3 × 1текущий3текущий
Вторая координата
Произведение −4 и 2 даёт отрицательный вклад −8.
- Состояние
- −4 × 2текущий−8текущий
Один итог
Сумма вкладов равна −5; результат — число.
- Состояние
- 3текущий−8текущий−5текущий
После первого шага накоплено 3, после второго добавляется −8, поэтому итог уменьшается до −5. Модуль результата 5 не заменяет ответ: знак несёт часть информации о сумме вкладов. Если перепутать координаты только у второго вектора, выйдет $3\cdot2+(-4)\cdot1=2$, то есть другой расчёт. Обе строки должны сохранять один и тот же порядок признаков на всех шагах.
Дальше: Поэлементное произведение.