Как в учебнике
Норма на $\mathbb R^d$ — функция $\|\cdot\|:\mathbb R^d\to[0,+\infty)$, для которой при любых $u,v\in\mathbb R^d$ и $c\in\mathbb R$ выполнены $\|v\|=0\Leftrightarrow v=0$, $\|cv\|=|c|\|v\|$ и $\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$. Условия требуют положительной определённости, согласованности с масштабом и неравенства треугольника. Расстояние при выбранной норме задаёт $\|u-v\|$.
Для действительного $p\ge1$ формула имеет вид $\|v\|_p=(\sum_i|v_i|^p)^{1/p}$. В частности, $\|v\|_1=\sum_i|v_i|$, $\|v\|_2=\sqrt{\sum_iv_i^2}$, а $\|v\|_\infty=\max_i|v_i|$. Без индекса нужно объявить соглашение; здесь подразумевается евклидова норма $\|v\|_2$.
Обозначение $\|v\|_0$ часто считает ненулевые координаты, но это не норма: умножение ненулевого вектора на 2 не удваивает их число. Название не заменяет проверку аксиом.
Абсолютная однородность связывает отрицательное масштабирование с длиной: при $c=-1$ следует $\|-v\|=\|v\|$. Неравенство треугольника ограничивает длину суммы сверху, но не утверждает равенства: противоположные векторы могут взаимно сократиться. Все условия относятся к одному выбранному правилу измерения. Нельзя взять длину одного вектора по норме 1, другого по норме 2 и применить к смешанным числам аксиому так, будто индекс везде одинаков.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Норма фиксирует линейку для измерения вектора: сумма движений по координатам, прямая длина и наибольшее изменение координаты дают разные правила. Поэтому слово «ближайший» без выбранной нормы оставляет договор недописанным. У геометрии несколько тарифов, но переключать их посередине сравнения нельзя. Дорожная модель объясняет нормы 1 и 2, тогда как норма бесконечность измеряет наибольший модуль координаты, а не пройденный маршрут.
Пример
Для исходного учебного $v=(3,-4)^{\mathsf T}$ три нормы дают длины: 7, 5 и 4. Вектор остаётся тем же; меняется только правило измерения. Каждая формула показана с промежуточными величинами.
Норма вектора: что считать длиной
Норма 1
Сумма модулей координат: 3 + 4 = 7.
Шаг 1 из 3: Норма 1
Все шаги текстом
Норма 1
Сумма модулей координат: 3 + 4 = 7.
- Состояние
- |3| = 3текущий|−4| = 4текущий7текущий
Норма 2
Корень из суммы квадратов равен 5.
- Состояние
- 3² = 9текущий(−4)² = 16текущий√25 = 5текущий
Норма ∞
Наибольший модуль координаты равен 4.
- Состояние
- 34включёнмаксимум: 4текущий
Во всех трёх шагах отрицательная координата сначала теряет знак внутри модуля или квадрата, поэтому длина не становится отрицательной. Для евклидова случая важно извлечь корень из 25: сама сумма квадратов 25 ещё не норма 2. Если умножить исходный вектор на 2, три результата станут 14, 10 и 8. Такая проверка согласуется с однородностью каждого правила и помогает заметить пропущенный модуль или корень.
Дальше: Модуль числа, Координатный вектор.