Как в учебнике
В координатной модели вектор $x\in\mathbb R^d$ — упорядоченный набор $d$ действительных координат, где целое $d\ge1$. Число $x_i$ — координата с номером $i$. В примерах нумерация начинается с единицы, а векторы записываются столбцами.
Например, $x=(2,4,6)^{\mathsf T}\in\mathbb R^3$. Символ $\mathsf T$ транспонирует строку в столбец; это не степень. Равенство векторов требует равных размерностей и равных соответствующих координат. Порядок важен: $(2,4)^{\mathsf T}\ne(4,2)^{\mathsf T}$. В общей линейной алгебре векторы определяются через векторные пространства; здесь используется конкретная модель набора чисел.
Индекс координаты должен лежать в указанном диапазоне: при нумерации от единицы это $1\le i\le d$. Значение $x_i$ является числом, тогда как $x$ — весь упорядоченный набор; подмена одного другим меняет тип объекта. Повторяющиеся координаты разрешены и не уменьшают размерность. Например, наличие одинаковых значений в двух позициях не позволяет удалить одну из них, не изменив вектор.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Координатный вектор похож на анкету с закреплёнными полями. Перестановка роста и возраста меняет смысл, даже если набор чисел сохранился. Размерность задаёт число полей, но не их названия и единицы измерения. Два файла с тремя столбцами ещё не обязаны описывать одинаковые признаки: числа без подписей тоже умеют выглядеть убедительно.
Пример
Исходный учебный вектор — $x=(2,4,6)^{\mathsf T}$. В примере последовательно показаны его координаты; сам вектор во время чтения не меняется.
Координатный вектор: порядок и размерность
Координата 1
Первый индекс выбирает 2.
Шаг 1 из 3: Координата 1
Все шаги текстом
Координата 1
Первый индекс выбирает 2.
- Состояние
- 2текущий46
Координата 2
Вторая позиция содержит 4.
- Состояние
- 24текущий6
Координата 3
Третья позиция содержит 6; всего три координаты.
- Состояние
- 246текущий
Вектор в сцене остаётся $(2,4,6)^{\mathsf T}$ на всех шагах: меняется выбранная позиция, а не исходные данные. После выбора второго индекса результат чтения равен 4, а не первым двум числам сразу. Индекс 4 здесь не разрешён, поскольку координат всего три. В коде с нумерацией от нуля математической второй координате соответствовала бы позиция 1; соглашение нужно перевести явно.
Дальше: Транспонирование, Норма вектора.