Супремум: наименьшая верхняя граница

Как в учебнике

У непустого ограниченного сверху множества действительных чисел $T$ супремум $M=\sup T$ — верхняя граница, не превосходящая никакой другой верхней границы. То есть $t\le M$ для всех $t\in T$, но меньшего числа с тем же свойством нет.

Точность границы можно выразить так: для любого $\varepsilon>0$ найдётся $t\in T$ с $M-\varepsilon<t\le M$. Значения подходят сколь угодно близко снизу; включать саму границу в множество не требуется. Существование супремума у непустого ограниченного сверху множества — свойство полноты действительных чисел.

Для функции $\sup_{x\in S}f(x)$ — супремум множества её значений. У $f(x)=x$ на $(0,1)$ он равен 1. Это верхняя граница, а любое число ниже 1 пропускает над собой допустимые значения.

При достижении супремум становится максимумом. В открытом интервале 1 не входит в область, поэтому максимума нет. Если множество не ограничено сверху, конечного действительного супремума нет; обозначение $+\infty$ относится к расширенному соглашению.

Чтобы опровергнуть кандидата на супремум, достаточно нарушить одно из двух требований. Либо найдётся элемент множества выше кандидата, либо найдётся меньшая верхняя граница. Эти ситуации различаются: число 2 для $(0,1)$ действительно ограничивает множество, но не является точной границей; число 0.9 даже не ограничивает его. Если супремум существует, он единственен: два различных кандидата не могут оба быть наименьшими верхними границами, поскольку меньший опровергнет точность большего.

Определения и обозначения: Basic Analysis I.

Связанные понятия: Максимум функции: наибольшее достигнутое значение.