Как в учебнике
Пусть непустое множество действительных чисел $T$ ограничено снизу. Число $m=\inf T$ — его инфимум, если $m\le t$ для каждого $t\in T$ и любая другая нижняя граница не больше $m$. Это наибольшая из всех нижних границ.
Равносильная проверка точности границы: для любого $\varepsilon>0$ найдётся $t\in T$ с $m\le t<m+\varepsilon$. Значения могут подходить сколь угодно близко сверху; сам $m$ не обязан входить в $T$. Полнота действительных чисел гарантирует существование инфимума у такого непустого ограниченного снизу множества.
Для функции обозначение $\inf_{x\in S}f(x)$ применяется к множеству её значений. У $f(x)=x$ на $(0,1)$ инфимум равен 0. Ноль — нижняя граница, а любое положительное число перестаёт ею быть: в интервале найдётся меньшее положительное значение.
Если инфимум достигается на допустимом входе, он является минимумом. У открытого интервала ноль не достигается, поэтому минимума нет. Если значения не ограничены снизу, конечного действительного инфимума нет; запись $-\infty$ требует соглашения о расширенной числовой прямой.
Условие приближения проверяет именно наибольшую нижнюю границу. Если выше $m$ существовала бы другая нижняя граница $b$, можно было бы выбрать $\varepsilon=b-m$. Тогда определение дало бы элемент $t<b$, что противоречит свойству $b$. Поэтому недостаточно показать только, что все элементы больше кандидата: так подошло бы и любое меньшее число.
Определения и обозначения: Basic Analysis I.
Связанные понятия: Минимум функции: наименьшее достигнутое значение.
На пальцах
Инфимум похож на самый высокий пол, который ещё помещается под всеми значениями. Ниже поставить можно, а любое повышение уже нарушит условие для какого-нибудь значения. У $(0,1)$ этот пол находится на нуле, хотя ни одно число на нём не стоит. Отсутствие жильца на полу не означает общего положительного зазора: значения могут подходить к границе сколько угодно близко.
Пример
Учебное множество — $(0,1)$. В примере показаны кандидаты в нижнюю границу и приближение к нулю.
Инфимум: наибольшая нижняя граница
Слишком низкая граница
Число −1 ниже всех значений, но ноль даёт более высокую границу.
Шаг 1 из 4: Слишком низкая граница
Все шаги текстом
Слишком низкая граница
Число −1 ниже всех значений, но ноль даёт более высокую границу.
- Кандидаты
- −10текущий
Слишком высокая граница
Кандидат 0.1 не подходит: допустимое 0.05 меньше него.
- Кандидат; контрпример
- 0.1исключён0.05включён
Приближение сверху
Положительные 0.1, 0.01 и 0.001 остаются в множестве и подходят к нулю.
- Допустимые значения
- 0.10.01текущий0.001включён
Граница не достигнута
Ноль — точная нижняя граница, но исключён из множества.
- Инфимум; принадлежность
- 0включён0 ∉ (0,1)исключён
Для любого положительного кандидата $b$ найдётся элемент интервала ниже него: подходит $t=\min(b/2,1/2)$. Это число положительно, меньше 1 и меньше $b$. Тем самым один способ отбора контрпримера заменяет бесконечный перебор десятичных дробей. Для точности $\varepsilon$ та же конструкция даёт элемент между нулём и $\varepsilon$. Ни на одном таком шаге ноль не объявляется допустимым элементом.
Для инфимума необходимы нижняя граница и доказательство невозможности её поднять. Достижение — отдельная проверка.