Минимум функции: наименьшее достигнутое значение

Как в учебнике

Пусть $f:S\to\mathbb R$, где $S$ непусто. Число $m$ называется глобальным минимумом функции на $S$, если $f(x)\ge m$ для каждого $x\in S$ и существует $x_0\in S$ с $f(x_0)=m$. Тогда $m=\min_{x\in S}f(x)$.

У определения две независимые части: никакое допустимое значение не меньше $m$ и хотя бы одно значение равно $m$. Для $f(x)=(x-2)^2$ на $\mathbb R$ квадрат неотрицателен и равен нулю при 2. Поэтому минимум равен 0, тогда как 2 — вход, на котором он достигается.

Область допустимых входов является частью задачи. На $S=\{0,1\}$ у той же функции значения 4 и 1, поэтому минимум уже равен 1. Изменение ограничений меняет возможный ответ.

Минимума может не быть даже у функции, ограниченной снизу. У $f(x)=x$ на $(0,1)$ любой вход можно заменить на $x/2$ с меньшим значением, а ноль недопустим. Назвать задачу минимизацией ещё не значит установить существование решения.

Минимальное значение единственно: если $m_1$ и $m_2$ оба являются достигнутыми нижними границами, то $m_1\le m_2$ и $m_2\le m_1$, откуда $m_1=m_2$. При этом входов с таким значением может быть несколько. Сравнение только с близкими входами не доказывает глобальность. Условие определения требует сравнения со всеми допустимыми входами, включая удалённые от найденной точки.

Определения и обозначения: Basic Analysis I; Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Инфимум: наибольшая нижняя граница, Argmin: множество минимизирующих входов.