Максимум функции: наибольшее достигнутое значение

Как в учебнике

Пусть $f:S\to\mathbb R$, где $S$ непусто. Число $M$ — глобальный максимум функции, если $f(x)\le M$ для любого $x\in S$ и найдётся $x_0\in S$ с $f(x_0)=M$. Запись $M=\max_{x\in S}f(x)$ сообщает значение выхода, а не вход $x_0$.

Оба условия необходимы. Число выше всех значений функции является верхней границей, но без достижения не является максимумом. На конечном непустом наборе входов наибольшее из конечного числа действительных значений всегда достигается.

У $f(x)=(x-2)^2$ на $\{0,1,2\}$ значения равны 4, 1, 0, и максимум равен 4. На всей действительной прямой максимума нет: квадрат не ограничен сверху. Поэтому само выражение функции не определяет ответ без области.

У $f(x)=x$ на $(0,1)$ значения ограничены сверху числом 1, но максимума нет. Любой допустимый вход можно заменить на $(x+1)/2$, который всё ещё меньше 1 и даёт больший результат. Проверка нескольких больших значений не заменяет условия для всех входов.

Значение максимума, если оно существует, единственно, хотя достигаться оно может на разных входах. Действительно, два кандидата $M_1$ и $M_2$ должны удовлетворять $M_1\le M_2$ и $M_2\le M_1$, поскольку каждый из них является достигнутым значением и верхней границей всех значений. Проверка только ближайших входов устанавливает другое, локальное свойство и не заменяет глобального сравнения.

Определения и обозначения: Basic Analysis I; Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Супремум: наименьшая верхняя граница, Argmax: множество максимизирующих входов.