Argmin: множество минимизирующих входов

Как в учебнике

Пусть $f:S\to\mathbb R$. Действует множественное соглашение: argmin — множество всех допустимых входов, на которых значение функции не больше значения на любом другом входе.

$$\operatorname*{argmin}_{x\in S}f(x):=\{x\in S\mid\forall z\in S:\ f(x)\le f(z)\}.$$

Минимум — выходное значение, а argmin содержит входы. Для $(x-2)^2$ на действительной прямой минимум равен 0, но множество минимизаторов равно $\{2\}$. Для $(x^2-1)^2$ то же значение 0 достигается в двух точках: argmin равен $\{-1,1\}$.

Ограничение области меняет множество решений: для второй функции при $x\ge0$ остаётся $\{1\}$. Если минимум не достигается, argmin пусто: у $f(x)=x$ на $(0,1)$ любой вход можно улучшить, взяв $x/2$.

Конкретное выбранное решение обозначают $x^*\in\operatorname*{argmin}_{x\in S}f(x)$. Прикладная запись с равенством может подразумевать единственность или правило разрешения ничьей. Возвращение одного элемента в коде требует явного правила выбора.

Глобальное условие в определении относится ко всей области $S$. Проверка нескольких точек сама по себе не исключает меньших значений между ними. Для функции $(x^2-1)^2$ доказательство полноты ответа даёт неотрицательность квадрата: меньше нуля значений нет, а ноль получается ровно при $x^2=1$. Так одновременно обосновываются оптимальность найденных входов и отсутствие других минимизаторов.

Определения и обозначения: Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Минимум функции: наименьшее достигнутое значение.