Argmax: множество максимизирующих входов

Как в учебнике

Пусть $f:S\to\mathbb R$. Argmax — множество допустимых входов, на которых достигается наибольшее значение функции. Здесь результат — именно множество, которое может иметь один элемент, несколько элементов или быть пустым.

$$\operatorname*{argmax}_{x\in S}f(x):=\{x\in S\mid\forall z\in S:\ f(x)\ge f(z)\}.$$

Для оценок $s_1=2$, $s_2=7$, $s_3=4$ максимум равен 7, а $\operatorname*{argmax}_{i\in\{1,2,3\}}s_i=\{2\}$. Значение и индекс имеют разные роли; argmax не возвращает лучший балл.

Если $s_3$ тоже равно 7, множество ответов становится $\{2,3\}$. Выбор первого индекса — дополнительное правило разрешения ничьей. Поэтому запись одного ответа через равенство с argmax требует объявления соглашения, тогда как $i^*\in\operatorname*{argmax}_i s_i$ явно обозначает выбранный элемент.

У функции без достигнутого максимума множество пусто. Например, у $f(x)=x$ на $(0,1)$ всегда есть больший допустимый вход $(x+1)/2$. Сам факт существования верхней границы не предоставляет максимизирующий вход.

Чтобы проверить кандидата $x^*$, недостаточно сравнить его с одним выбранным конкурентом: требуется $f(x^*)\ge f(z)$ для каждого допустимого $z$. В непустой конечной области при действительных оценках хотя бы один такой кандидат существует: последовательное сравнение сохраняет лучший из уже рассмотренных входов. Добавление новой допустимой точки может изменить ответ, даже если прежние значения функции остались теми же.

Определения и обозначения: Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Максимум функции: наибольшее достигнутое значение.