Как в учебнике
Транспонирование матрицы $A\in\mathbb R^{m\times n}$ создаёт матрицу $A^{\mathsf T}\in\mathbb R^{n\times m}$ по правилу $(A^{\mathsf T})_{ji}=A_{ij}$. Строки становятся столбцами, столбцы — строками; значения элементов сохраняются. Повторное транспонирование возвращает исходную матрицу.
Столбец из трёх координат имеет размер $3\times1$, после транспонирования — $1\times3$. Число координат не меняется, но допустимые матричные произведения зависят от новой формы. Верхняя буква $\mathsf T$ обозначает операцию с позициями, а не возведение чисел в степень.
Для элемента с адресом $(i,j)$ новый адрес равен $(j,i)$. Обмен индексов дважды возвращает $(i,j)$, что доказывает правило повторного транспонирования для всех элементов. У квадратной матрицы размер после операции прежний, но значения вне главной диагонали могут поменяться местами. Элементы на диагонали сохраняют позиции, поскольку их индексы совпадают. Следовательно, одинаковая форма матрицы до и после преобразования ещё не означает равенства самих матриц.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Транспонирование меняет роли строк и столбцов, сохраняя каждое число. Строка становится столбцом с тем же номером, поэтому порядок 2, 4, 6 не разворачивается задом наперёд. Это точная смена адресов, а не поворот листа. В таблице «ученик — предмет» предметы получают строки, ученики — столбцы; оценки от переезда лучше не становятся.
Пример
В примере транспонируется исходный учебный столбец $(2,4,6)^{\mathsf T}$. Сначала показан столбец, затем строка и обратное преобразование.
Транспонирование: поменять строки и столбцы
Столбец
Каждое значение находится в отдельной строке.
Шаг 1 из 3: Столбец
Все шаги текстом
Столбец
Каждое значение находится в отдельной строке.
- x₁
- 2текущий
- x₂
- 4текущий
- x₃
- 6текущий
Строка
После обмена индексов значения лежат в одной строке.
- xᵀ
- 2текущий4текущий6текущий
Вернуться
Ещё одно транспонирование восстанавливает столбец.
- x₁
- 2текущий
- x₂
- 4текущий
- x₃
- 6текущий
Четвёрка сначала стоит во второй строке первого столбца, затем — в первой строке второго столбца. Двойка остаётся первой координатой, шестёрка — третьей. Обратное преобразование возвращает каждое число на исходный адрес. Проверять только набор значений недостаточно: строка $(6,4,2)$ содержит те же числа, но не является нужным транспонированным результатом. Проверка формы и обмена каждого адреса обнаружит такую ошибку.
Дальше: Матрица.