Как в учебнике
Матрица $A\in\mathbb R^{m\times n}$ — прямоугольная таблица действительных чисел с $m$ строками и $n$ столбцами. Здесь $m,n$ — положительные целые. Элемент $A_{ij}$ находится в строке $i$ и столбце $j$; в примерах индексы начинаются с единицы.
Размер $m\times n$ — часть типа объекта. Для равенства матриц должны совпадать размерности и все соответствующие элементы. Буква $A$ здесь обозначает таблицу, а не множество: смысл буквы определяется условием. Строка и столбец с одинаковыми числами имеют разные размеры и разные роли при умножении.
Для матрицы размера $m\times n$ допустимы индексы $1\le i\le m$ и $1\le j\le n$. Обращение за пределами этих диапазонов не выбирает элемент данной матрицы. Наличие нулей не уменьшает её размер: нулевые строки и столбцы остаются частью таблицы. Матрицы одинаковой формы могут различаться одним элементом, а одинаковый набор чисел в другом расположении не означает равенства матриц.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Machine Learning.
На пальцах
Матрица похожа на план мест в зале: адрес требует сначала строки, затем столбца. Обмен индексов способен выбрать другую ячейку, а одинаковое число мест не делает формы два на три и три на два одинаковыми. Ноль тоже занимает полноценную ячейку и не сдвигает остальные числа. Одинаковые значения не сливаются: два билета по одной цене не превращают кресла в общий стул.
Пример
Учебная матрица имеет первую строку $(1,2)$ и вторую $(0,1)$. В примере показаны размер и две разные ячейки.
Матрица: таблица с двумя индексами
Размер
Две строки и два столбца дают размер 2 × 2.
Шаг 1 из 3: Размер
Все шаги текстом
Размер
Две строки и два столбца дают размер 2 × 2.
- A₁
- 1текущий2текущий
- A₂
- 0текущий1текущий
Первая строка, второй столбец
Индексы 1, 2 выбирают число 2.
- A₁
- 1текущий2 ←текущий
- A₂
- 0текущий1текущий
Вторая строка, первый столбец
После обмена индексов выбран другой элемент: 0.
- A₁
- 1текущий2текущий
- A₂
- 0 ←текущий1текущий
Вторая строка примера начинается с нуля, поэтому $A_{21}=0$ — найденный элемент, а не сообщение об отсутствии ячейки. Обе строки содержат по два элемента, следовательно, форма остаётся $2\times2$. Запись $A_{12}$ сначала выбирает первую строку, затем вторую позицию внутри неё. Такой порядок чтения полезно проговорить до вычислений: ошибка адреса может дать вполне правдоподобное число и пережить последующую арифметику.
Дальше: Матричное умножение.