Предел функции: точное значение «приближается»

Как в учебнике

Пусть действительная функция $f$ определена в проколотой окрестности точки $a$: на всех достаточно близких входах, кроме, возможно, самого $a$. Равенство $\lim_{x\to a}f(x)=L$ означает, что для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$, при котором из $0<|x-a|<\delta$ следует $|f(x)-L|<\varepsilon$.

Порядок условий существенен. Сначала выбирается любая требуемая точность выхода $\varepsilon$, затем под неё находят допустимую близость входа $\delta$. Условие должно выполняться для всех подходящих входов с обеих сторон точки, а не для нескольких выбранных значений.

Значение $f(a)$ в это определение не входит. У $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$ при $x=1$ знаменатель нулевой, но для $x\ne1$ функция равна $x+1$. Поэтому предел при $x\to1$ равен 2: достаточно взять $\delta=\varepsilon$, поскольку $|f(x)-2|=|x-1|$.

Совпадение вычислений на сетке не доказывает существование предела. В определении требуется управление всеми достаточно близкими входами. Если односторонние пределы различаются, единого двустороннего предела нет.

Выбор $\delta$ может зависеть от $\varepsilon$ и точки $a$, но не от конкретного входа внутри выбранной окрестности. Если одна окрестность подошла, любая меньшая тоже подходит. Поэтому определение требует не удачной последовательности входов, а устойчивого ограничения: после достаточно сильного приближения к $a$ выходы уже не покидают заданный коридор вокруг $L$.

Определения и обозначения: Basic Analysis I.

Связанные понятия: Числовой интервал: включены ли границы.